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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Fr 19.02.2010 | | Autor: | Zeitlos |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass den Stückkosten k(x) geometrisch die Steigung einer Gerade entspricht, die durch den Ursprung und den Punkt P(x/K(x)) geht!
Wie lässt sich daher das Betriebsoptimum graphisch ermitteln?
K(x) = 0,1x² + 0,1x + 2 |
Also, ich habe schon Verstanden, dass eine Tangente durch den Ursprung an den Graphen K(x) gelegt werden muss, komme aber nicht darauf, wie ich das praktisch umsetzen soll.
lg
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass den Stückkosten k(x) geometrisch die
> Steigung einer Gerade entspricht, die durch den Ursprung
> und den Punkt P(x/K(x)) geht!
> Wie lässt sich daher das Betriebsoptimum graphisch
> ermitteln?
>
> K(x) = 0,1x² + 0,1x + 2
> Also, ich habe schon Verstanden, dass eine Tangente durch
> den Ursprung an den Graphen K(x) gelegt werden muss, komme
> aber nicht darauf, wie ich das praktisch umsetzen soll.
nun ja:
k(x) ist eine gerade und geht durch den Punkt P(x/K(x)). Daher ist ja, wie du schon erkannt hast k(x) die Tangente/die Steigungsfunktion von K(x)...
Und du suchst doch jetzt nach dieser Funktion, oder?? Weißt du, was "Ableiten bzw. Differenzieren" ist??
LG
pythagora
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Fr 19.02.2010 | | Autor: | Zeitlos |
k(x) = [mm] \bruch{K(x)}{x}
[/mm]
also ist k(x) doch eine Kurve ?
die Steigungsfunktion von K(x) ist doch die Grenzkostenfunktion K'(x)?
Ich suche das Betriebsoptimum - der xWert bei den mit den geringsten Stückkosten produziert wird.
Es gibt ebene 2 Möglichkeiten das Betriebsoptimum zu berechnen:
die erste in dem ich die Ableitung der Stückkostenfunktion Null setze - also k'(x)=0
und die zweite in der ich eine Tangente durch den Ursprung an K(x) lege - wobei ich bei dieser eben nicht weiß wie ich das mathematisch lösen kann.
Ich brauche den Punkt auf der Kurve K(x), dessen Tangente durch den Ursprung geht ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Fr 19.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Frage war doch, wie man das graphisch löst. dann muss man einfach die Kurve zeichnen und mit nem Lineal möglichst gut ne Tangente an die Kurve legen.
Mathematisch gibts 2 Weg das zu lösen:
schneide eine beliebige Gerade durch 0 k(x)=mx mit der Kurve.
dann kriegst du ne quadratische Gleichung mit 2 Lösungen, wenn der Ausdruck unter der Wurzel =0 ist, hat man nur einen Punkt, also Tangente.
Beispiel [mm] K(x)=x^2+2x+8
[/mm]
k(x)=mx
schneiden
[mm] x^2+2x+9=mx
[/mm]
[mm] x^2+(2-m)x+9=0
[/mm]
x=-(2-m)/2 [mm] \pm\wurzel{(2-m)^2/4-9}
[/mm]
jetzt [mm] (2-m)^2/4-9=0
[/mm]
[mm] (2-m)^2==36
[/mm]
[mm] 2-m=\pm [/mm] 6
m1=2+6
m2=2-6 sinnloser Wert.
also hast du hier m=8 und damit x=-(2-8)/2=3
anderer Weg:
Tangente an K(x) in [mm] x_T
[/mm]
[mm] t(x)=K'(x_t)*(x-x_T)+K(x_T)
[/mm]
Das muss gleich der Geraden durch 0 und [mm] (x_T;K(x_t)) [/mm] sein.
daraus wieder [mm] x_T [/mm] bestimmen
Gruss leduart
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 18:32 Fr 19.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
k(x) ist i.A. keine Tangente, sondern eine Sekante.
die Steigung gibt die kosten pro Stück. die kleinste Steigung also die kleinsten Kosten pro Stück. das ist dann die Tangente durch 0.
Gruss leduart
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> Hallo,
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> > Zeigen Sie, dass den Stückkosten k(x) geometrisch die
> > Steigung einer Gerade entspricht, die durch den Ursprung
> > und den Punkt P(x/K(x)) geht!
> > Wie lässt sich daher das Betriebsoptimum graphisch
> > ermitteln?
> nun ja:
> k(x) ist eine gerade und geht durch den Punkt P(x/K(x)).
> Daher ist ja, wie du schon erkannt hast k(x) die
> Tangente/die Steigungsfunktion von K(x)...
> Und du suchst doch jetzt nach dieser Funktion, oder??
> Weißt du, was "Ableiten bzw. Differenzieren" ist??
>
> LG
> pythagora
Hallo,
leduart hat Dir ja schon gesagt, daß das so nicht richtig ist.
Ich möchte Dir das noch etwas genauer erklären:
die Stückkosten k(x) sind - oh Wunder! - die Kosten pro Stück bei einer Produktion der Menge x, also [mm] k(x)=\bruch{K(x)}{x} [/mm] ,
also die Steigung der Geraden durch (0|0) und (x|K(x)).
Diese Stückkosten (=Duchschnittskosten) sind also für das x am kleinsten, wo obige Gerade die kleinste Steigung hat.
Du siehst, daß die Stückkosten erstmal überhaupt nichts mit der Tangente an den Graphen zu tun haben.
[Du hast das mit der Ableitung von K, also mit K' verwechselt, mit den Grenzkosten.
K'(x) gibt an, wieviel bei einer Produktion von x die Produktion einer weiteren Mengeneinheit kosten würde.]
Nun zu dem Tun in der Aufgabe. Die Idee:
Das Betriebsoptimum ist erreicht, wenn die Durchschnittskosten (=Stückkosten) möglichst klein sind,
wenn also [mm] 0=k'(x)=(\bruch{K(x)}{x})' =\bruch{x*K'(x)- K(x)}{x^2} [/mm] ist, und dies ist der Fall für
[mm] K'(x)=\bruch{K(x)}{x}.
[/mm]
Aus dieser Erkenntnis ergibt sich die graphische Lösung der Aufgabe: es ist die Stelle x zu suchen, an welcher die Tangente und die Steigung der Geraden durch den Ursprung und (x|K(x)) gleich sind.
Gruß v. Angela
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