Bew.Induktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion.
a) [mm] 2^{n} [/mm] >4n für alle [mm] n\ge(\text{größer gleich})5
[/mm]
b) [mm] n^{2} [/mm] >2n+1 für [mm] n\ge(\text{größer gleich})3
[/mm]
c) [mm] 3^{n} >n^{2} [/mm] für [mm] n\ge(größer [/mm] gleich)1
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Hallo erstmal! Wäre einer so lieb und könnte mir ausführlich bei jeder aufgabe die lösungsschritte zeigen wenns geht?? an dem tag also gestern war ich krank und hab mathe verpasst und so auch dieses thema( bew.der vollst. Induktion).
DIeses greiri... inder klammer sollte " Größer gleich " heissen, hat irgendwie net geklappt!
[edit: weil es im Innern einer Formel steht. informx]
Ich danke schonmal für die mühe!
Gruß v. Cold.
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Hallo ColdNLoco,
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion.
> a) [mm]2^{n}[/mm] >4n für alle [mm]n\ge(\text{größer gleich})5[/mm]
> b)
> [mm]n^{2}[/mm] >2n+1 für [mm]n\ge(\text{größer gleich})3[/mm]
> c) [mm]3^{n} >n^{2}[/mm]
> für [mm]n\ge(größer[/mm] gleich)1
>
> Hallo erstmal! Wäre einer so lieb und könnte mir
> ausführlich bei jeder aufgabe die lösungsschritte zeigen
> wenns geht?? an dem tag also gestern war ich krank und hab
> mathe verpasst und so auch dieses thema( bew.der vollst.
> Induktion).
>
alle Aufgaben werde ich dir sicherlich nicht vorrechnen... 
zu zeigen: [mm] 2^n>4n [/mm] für alle [mm] n\ge5
[/mm]
Induktionsanfang: n=5: [mm] 2^5=32>4*5=20 [/mm] stimmt also
Induktionsannahme: [mm] 2^n>4*n
[/mm]
Induktionsbehauptung: die Ungleichung gilt auch für n+1: [mm] 2^{n+1}>4(n+1)
[/mm]
Induktionsschluss: linke Seite: [mm] 2^{n+1}=2*2^n [/mm] rechte Seite:4*(n+1)=4+4*n
nun kommt eine Abschätzung für n>5: weil [mm] 2^n>4*n [/mm] gilt, folgt [mm] 2*2^n>2*4*n=4n+4n\underbrace{>}_{\text{n weglassen}}4+4n=4(n+1)
[/mm]
Indem ich den einen Faktor n weglasse, mache ich die rechte Seite sicherlich "ein wenig" kleiner - und schon steht die Behauptung da!
Prüfe mal konkret mit n= 5, 6, 7 ... ob das tatsächlich ab [mm] n\ge5 [/mm] stimmt!
Und dann setz' dich an die anderen Aufgaben; rechne sie hier vor, wenn wir sie überprüfen sollen.
Gruß informix
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