Bew.: ln(ln(x)) ist divergent < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Sa 10.11.2007 | | Autor: | SEiCON |
| Aufgabe | | Behauptung überprüfen: ln(ln(x)) ist divergent. |
Hallo erstmal! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Das ln(x) divergent ist habe ich bewiesen.
Das f(x)=ln(ln(x)) divergent ist kann ich mir vorstellen.
Jedoch:
Der Grenzwert der Ableitung f'(x)= 1 / (x*ln(x)) für x --> [mm] \infty [/mm] ist 0. Also die Ableitung der Funktion hat einen Grenzwert. Das sagt mir, dass die Funktion für große x kaum noch wächst, oder?
Wenn die Steigung der Funktion gegen Null geht, ist die Folge der Funktionswerte dann nicht gegen ein [mm] p\in\IR [/mm] konvergent?
----
Ich habe mir auch noch überlegt, ob man nicht überprüfen könnte ob ln(ln(x)) eine Cauchy-Folge ist. Wäre das ein Ansatz?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo SEiCON,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Das ln(x) divergent ist habe ich bewiesen.
Damit hast Du aber auch bereits indirekt die Divergenz von [mm] $\ln\left[\ln(x)\right]$ [/mm] gezeigt. Denn wenn das Argument [mm] $\ln(x)$ [/mm] über alle Grenzen wächst, dann passiert dies auch für den [mm] $\ln[...]$ [/mm] des entsprechenden Wertes.
> Das f(x)=ln(ln(x)) divergent ist kann ich mir vorstellen.
Führe doch einen Widerspruchsbeweis und behaupte, dass [mm] $\ln\left[\ln(x)\right]$ [/mm] beschränkt sei:
[mm] $$\ln\left[\ln(x)\right] [/mm] \ < \ A$$
Nun nach $x_$ umformen.
> Jedoch:
> Der Grenzwert der Ableitung f'(x)= 1 / (x*ln(x)) für x -->
> [mm]\infty[/mm] ist 0. Also die Ableitung der Funktion hat einen
> Grenzwert. Das sagt mir, dass die Funktion für große x kaum
> noch wächst, oder?
Kaum ja, aber immerhin es wächst halt immer!!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Sa 10.11.2007 | | Autor: | SEiCON |
Hallo, vielen Dank für deinen Hinweis.
Mein Beweis wäre dann folgender:
Beh.: ln(ln(x)) ist beschränkt. Das bedeutet
ln(ln(x)) < A ; A [mm] \in \IR [/mm] ; [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
ln(x) < [mm] e^A
[/mm]
x < [mm] e^{e^A} \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
=> Widerspruch
ist das so formal korrekt ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo SEiCON!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, das sieht gut aus!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Sa 10.11.2007 | | Autor: | SEiCON |
Dann vielen Dank für die schnelle Hilfe :)
Gruß!
|
|
|
|
