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Forum "Determinanten" - Bew:AB=-BA, A oder B nicht inv
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Bew:AB=-BA, A oder B nicht inv: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:59 Mo 01.10.2012
Autor: lisa2802

Aufgabe
Zwei Matrizen A und B sind antikommutativ, wenn AB=-BA. Seien n [mm] \in \IN [/mm] ungerade und A;B reelle antikummative n x n Matrizen. Zeigen Sie, dass A oder B nicht invertierbar ist. Prüfen Sie, ob dies auch für gerade n gilt.


Das ist eine Klausuraufgabe und ich habe sie nochmal nachgerechnet als wir sie zurück bekommen haben. ( Grüner text = Kommentare des Korrektor)

meine Idee :
z.z. B nicht invertierbar, deswegen det B = 0
det (AB) = -det(BA) warum?

1. det (AB) = det (A) * det (B)
2. det(-BA) = det ((-1)(BA))= -1 * det(BA) = - det (B) * det(A)

aus 1. & 2. folgt :

det (A) * det (B) = - det (B) * det(A)

sei det A [mm] \not= [/mm] 0

daraus folgt :

det B = -det B
2*det B = 0
det B = 0

ich wüsste gerne, was gemeint ist mit "warum" und wo der unterschied zwischen ungerade und gerade ist und wie somit der zweite Teil bearbeitet wird.


Danke

Gruß
lisa2802





        
Bezug
Bew:AB=-BA, A oder B nicht inv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:05 Mo 01.10.2012
Autor: fred97


> Zwei Matrizen A und B sind antikommutativ, wenn AB=-BA.
> Seien n [mm]\in \INungerade[/mm] und A;B reelle antikummative n x n


Dass n ungerade sein soll, ist nicht zu lesen !


> Matrizen. Zeigen Sie, dass A oder B nicht invertierbar ist.
> Prüfen Sie, ob dies auch für gerade n gilt.
>  Das ist eine Klausuraufgabe und ich habe sie nochmal
> nachgerechnet als wir sie zurück bekommen haben. ( Grüner
> text = Kommentare des Korrektor)
>
> meine Idee :
>  z.z. B nicht invertierbar, deswegen det B = 0
>  det (AB) = -det(BA) warum?
>  
> 1. det (AB) = det (A) * det (B)
>  2. det(-BA) = det ((-1)(BA))= -1 * det(BA) = - det (B) *
> det(A)
>  
> aus 1. & 2. folgt :
>  
> det (A) * det (B) = - det (B) * det(A)
>  
> sei det A [mm]\not=[/mm] 0
>  
> daraus folgt :
>  
> det B = -det B
>  2*det B = 0
>  det B = 0
>  
> ich wüsste gerne, was gemeint ist mit "warum" und wo der
> unterschied zwischen ungerade und gerade ist und wie somit
> der zweite Teil bearbeitet wird.

Ist M eine nxn_Matrix, so gilt:

      [mm] $det(-M)=(-1)^n*det(M)$ [/mm]

Für ungerades n ist also det(-M)=-det(M). Ist aber n gerade, so ist det(-M)=det(M).

FRED

>  
>
> Danke
>  
> Gruß
>  lisa2802
>  
>
>
>  


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Bezug
Bew:AB=-BA, A oder B nicht inv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:14 Mo 01.10.2012
Autor: lisa2802

Danke, manchmal steh ich echt auf dem Schlauch.


für n = ungerade steht oben ja die Lösung mit deiner ANmerkung.

aber für n gerade :

det A * det B = det B * det A

mit det A /not= 0, det B = 0

det B = det B

reicht das so ???????

Bezug
                        
Bezug
Bew:AB=-BA, A oder B nicht inv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:24 Mo 01.10.2012
Autor: fred97


> Danke, manchmal steh ich echt auf dem Schlauch.
>  
>
> für n = ungerade steht oben ja die Lösung mit deiner
> ANmerkung.
>  
> aber für n gerade :
>  
> det A * det B = det B * det A
>  
> mit det A /not= 0, det B = 0
>  
> det B = det B
>
> reicht das so ???????

Natürlich nicht. Was soll daran "reichen" ?

FRED


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Bezug
Bew:AB=-BA, A oder B nicht inv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:26 Mo 01.10.2012
Autor: lisa2802

ja deswegen frag ich so doof!
Wie soll denn der Beweis  aussehen? Bzw. ein Tipp fände ich hilfreich!
Bzw wie prüfe ich in diesem Fall ob es auch für gerade n gilt.

Bezug
                                        
Bezug
Bew:AB=-BA, A oder B nicht inv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:40 Mo 01.10.2012
Autor: angela.h.b.


> ja deswegen frag ich so doof!
>  Wie soll denn der Beweis  aussehen? Bzw. ein Tipp fände
> ich hilfreich!
>  Bzw wie prüfe ich in diesem Fall ob es auch für gerade n
> gilt.

Hallo,

ich weiß nicht, wie Schlauere als ich es tun, ich habe jedenfalls eben ein bißchen mit einfachen [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen experimentiert.

Hast Du das auch schon getan? Ergebnisse?

LG Angela


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Bezug
Bew:AB=-BA, A oder B nicht inv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 Mo 01.10.2012
Autor: lisa2802

ja hab ich auch schon... aber ich bin anscheinend zu doof dazu :D
klar sehe ich wie oben auch schon egal welche matrix A und welche matrix B ich nehme, dass die Aussage aufgeht. aber ich bekomme es einfach nicht hin...

Bezug
                                                        
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Bew:AB=-BA, A oder B nicht inv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Mo 01.10.2012
Autor: fred97


> ja hab ich auch schon... aber ich bin anscheinend zu doof
> dazu :D
>  klar sehe ich wie oben auch schon egal welche matrix A und
> welche matrix B ich nehme, dass die Aussage aufgeht.


Was geht auf ? Der Hefeteig ?

Es ist so: es gibt invertierbare 2x2 - Matrizen A und B mit AB=-BA.

Google mal "Pauli-Matrizen"

FRED

>  aber
> ich bekomme es einfach nicht hin...


Bezug
                                                                
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Bew:AB=-BA, A oder B nicht inv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:35 Mo 01.10.2012
Autor: lisa2802

Das bringt mich nicht weiter!? ich weiß nicht was mir das bringen soll und naturlich weiß ich immer noch nicht wie die aufgaben zu ende geführt wird.

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Bew:AB=-BA, A oder B nicht inv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Mo 01.10.2012
Autor: fred97


> Das bringt mich nicht weiter!? ich weiß nicht was mir das
> bringen soll und naturlich weiß ich immer noch nicht wie
> die aufgaben zu ende geführt wird.


Was soll das ????  Stellen wirs klar:

Gegeben: zwei nxn - Matrizen A und B mit

            (1) AB=-BA.

Ist n ungerade, so folgt:

            (2)  det(A)=0 oder det(B)=0

So, nun stellt sich die Frage , ob aus (1) auch dann noch (2) folgt, wenn n gerade ist. Dass das i. a. nicht so ist, habe ich Dir gesagt. Wie Du geeignete Beispiele finden kannst, hab ich Dir auch gesagt.

Also , was soll das Gejammere, ich hab Dir doch fast alles vorgemacht.

FRED


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Bew:AB=-BA, A oder B nicht inv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Mo 01.10.2012
Autor: lisa2802

Also prüfe ich das wieder per "Gegenbeispiel"

A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\1 & 0 } [/mm]
B = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm]

A*B = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\1 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm]

B* A [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm]  = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm]


also gilt AB = -BA
ebenso wie Det (AB) = det (BA) = 1


Ist das so richtig?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Bew:AB=-BA, A oder B nicht inv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 Mo 01.10.2012
Autor: fred97


> Also prüfe ich das wieder per "Gegenbeispiel"
>  
> A = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\1 & 0 }[/mm]
>  B = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm]
>  
> A*B = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\1 & 0 }[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm] =
> [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>  
> B* A [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm] * [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]  =
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm]
>  
>
> also gilt AB = -BA
>  ebenso wie Det (AB) = det (BA) = 1
>  
>
> Ist das so richtig?

Fast. Du hast AB = -BA und det(A) [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \ne [/mm] det(B)

FRED


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