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Forum "Folgen und Grenzwerte" - Bew mono. und beschr. Folge
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Bew mono. und beschr. Folge: Aufgabe 37a
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 Fr 28.07.2017
Autor: Takota

Aufgabe
Es seien zwei positive reelle Zahlen a,b Elemente der positiven reellen Zahlen vorgegeben. Eine Folge werde rekursiv durch folgende Vorschrift definiert.

[mm] a_1 = b [/mm] mit [mm] a_{n+1}=\wurzel{a+a_n}\[/mm] für [mm]n\ge 1 [/mm].

a) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass [mm] (a_n)_{n\varepsilon\IN}[/mm] eine monotone und beschränkte Folge ist. Unterscheiden Sie dabe verschiedene Fälle!

Ich habe mich heute in MatheRaum angemeldet und Grüße alle recht herzlichst. Bei dieser Aufgabe fehlt mir der Einstieg, wie ich auf die verschiedene Fälle kommen kann. Die Lösungen liegen meinem Buch vor, leider fehlen mir die Komentare, bzw. die Schritte, wie man auf diese verschiedene Fälle kommt. In Excel habe ich mir diese Folge mit unterschiedlichen a,b Werten mal graphisch veranschaulicht. Mal ist sie monoton steigend, mal monoton fallend. Im Buch gibt es noch den Fall konstante Folge.

Könnte mir da jemand bitte helfen?

Gruß
Takota

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bew mono. und beschr. Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Fr 28.07.2017
Autor: HJKweseleit


> Es seien zwei positive reelle Zahlen a,b Elemente der
> positiven reellen Zahlen vorgegeben. Eine Folge werde
> rekursiv durch folgende Vorschrift definiert.
>  
> [mm]a_1 = b[/mm] mit [mm]a_{n+1}=\wurzel{a+a_n}\[/mm] für [mm]n\ge 1 [/mm].
>  
> a) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass
> [mm](a_n)_{n\varepsilon\IN}[/mm] eine monotone und beschränkte
> Folge ist. Unterscheiden Sie dabe verschiedene Fälle!
>  Ich habe mich heute in MatheRaum angemeldet und Grüße
> alle recht herzlichst.

Hallo Takota,
willkommen im Matheraum.

> Bei dieser Aufgabe fehlt mir der
> Einstieg, wie ich auf die verschiedene Fälle kommen kann.
> Die Lösungen liegen meinem Buch vor, leider fehlen mir die
> Komentare, bzw. die Schritte, wie man auf diese
> verschiedene Fälle kommt.

Es wäre gut, wenn du die verschiedenen Fälle hier angegeben hättest.

> In Excel habe ich mir diese
> Folge mit unterschiedlichen a,b Werten mal graphisch
> veranschaulicht. Mal ist sie monoton steigend, mal monoton
> fallend. Im Buch gibt es noch den Fall konstante Folge.
>  
> Könnte mir da jemand bitte helfen?

Wir zäumen das Pferd mal von hinten auf:
Wenn die Folge monoton und beschränkt ist, konvergiert sie.

Nennen wir [mm] x=\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}. [/mm]

Dann muss [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{a+a_n} [/mm] sein, also

[mm] x=\wurzel{a+x}, [/mm] also [mm] x^2=a+x, [/mm] also [mm] (p-q-Formel)x=\bruch{1}{2}\pm\wurzel{a+\bruch{1}{4}}. [/mm] Da alle [mm] a_n>0 [/mm] sind, hier also
[mm] x=\bruch{1}{2}+\wurzel{a+\bruch{1}{4}} [/mm]

Falls b diesen Wert hat, ist die Folge konstant, sonst nicht.

Beispiel: Für a=0 und b=1 ist die Folge konstant 1; für a=0,75 und b=1,5 ist die Folge konstant 1,5 usw.

Jetzt wird auch klar: Wenn die Behauptung stimmt, muss die Folge, die mit [mm] b>\bruch{1}{2}+\wurzel{a+\bruch{1}{4}} [/mm] startet, monoton sinken, da sie ja angeblich monoton ist und gegen [mm] \bruch{1}{2}+\wurzel{a+\bruch{1}{4}} [/mm] konvergiert. Analog muss die Folge, die mit [mm] b<\bruch{1}{2}+\wurzel{a+\bruch{1}{4}} [/mm] startet, monoton steigen, da sie ja angeblich monoton ist und gegen [mm] \bruch{1}{2}+\wurzel{a+\bruch{1}{4}} [/mm] konvergiert. Das musst du nun noch nachweisen.

Gruß
HJKweseleit

>  
> Gruß
>  Takota
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Bew mono. und beschr. Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Fr 28.07.2017
Autor: Takota

Hallo HJKweseleit,
ich bin begeistert von deiner Antwort. Von diesem Gesichtspunkt aus betrachtet ist die Aufgabe jetzt viel klarer - echt super. Vielen Dank für deine Hilfe!!

Die Lösungen im Buch fingen folgendermaßen an:

1. Fall Sei [mm] a = b^2-b. [/mm]
2. Fall Sei [mm] a > b^2-b. [/mm]
3. Fall Sei [mm] a < b^2-b. [/mm]

Ausgehend von diesen Fällen kommt man dann zu deinen aufgestellten Termen.
Ich fragte mich natürlich die ganze Zeit, wie man auf diese Ansätze kommt.
Eine Hilfe war für mich die graphische Darstellung, die ich mit Excel gemacht hatte um überhaupt eine Vorstellung zu bekommen in welche Richtung die Fragestellung bezgl. der Fälle es gehen sollte.

Ich werde jetzt das ganze nochmal in Ruhe durchrechnen und die Induktionsbeweise noch durchführen. Falls dann noch was unklar sein sollte melde ich mich nochmal.

Danke und viele Grüße
Takota


Bezug
                        
Bezug
Bew mono. und beschr. Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Fr 28.07.2017
Autor: chrisno

Wie man auf die Fallunterscheidung kommt:
Zuerst herumspielen, das hast Du gemacht. Dann die Frage stellen: gibt es Werte, für die die Folge konstant ist?
Dann soll [mm] $a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = [mm] a_3 [/mm] ....$ gelten. Dann kommst Du zu $b = [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = [mm] \sqrt{a + b}$. [/mm]


Bezug
                                
Bezug
Bew mono. und beschr. Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:35 Fr 28.07.2017
Autor: Takota

Hallo ChrisNo,
perfekt! So hätte ich mir die Antwort im Lösungsteil meines Buches gewünscht. Vielen Dank für Deine Hilfe.

Gruß
Takota


Bezug
                                        
Bezug
Bew mono. und beschr. Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Fr 28.07.2017
Autor: X3nion


> Hallo ChrisNo,
> perfekt! So hätte ich mir die Antwort im Lösungsteil
> meines Buches gewünscht. Vielen Dank für Deine Hilfe.
>  
> Gruß
>  Takota
>  

Und was war hier die Frage? [happy]
Ich verfasse nun diese Antwort, um sie zu "beantworten" ;-)

Gruß X3nion

Bezug
                        
Bezug
Bew mono. und beschr. Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:00 Sa 29.07.2017
Autor: HJKweseleit

Bitte merke dir den Trick: Falls (!) eine Folge [mm] a_n [/mm] konvergiert, ist [mm] x=\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+2}=..., [/mm] und damit kannst du oft einen möglichen Grenzwert bestimmen. Trotzdem muss nachgewiesen werden, dass die Folge wirklich konvergiert.

Bezug
                                
Bezug
Bew mono. und beschr. Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:00 Sa 29.07.2017
Autor: X3nion

Hallo Takota und herzlich [willkommenmr]


> Bitte merke dir den Trick: Falls (!) eine Folge [mm]a_n[/mm]
> konvergiert, ist [mm]x=\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+2}=...,[/mm]
> und damit kannst du oft einen möglichen Grenzwert
> bestimmen. Trotzdem muss nachgewiesen werden, dass die
> Folge wirklich konvergiert.

Hier auch nochmal eine kleine Ergänzung zum Beitrag von HJKWeseleit:


1) Siehe dies zum Beispiel an der Folge [mm] a_{n} [/mm] := [mm] \frac{1}{n} [/mm] ein.

Es gilt [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} [/mm] = 0
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n+1} [/mm] = 0
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n+2} [/mm] = 0

etc...

Und folglich [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}. [/mm]

Da das Konvergenzverhalten für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] untersucht wird, ist es gleich, welchen Indexshift man benutzt, denn im Unendlichen spielen diese keine Rolle.

2) Setze nun x = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}. [/mm]
=> [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n+1} [/mm] = x =  [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm]

Wieso nun letztenendes aus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{a+a_n} [/mm] folgt, dass

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{a+\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}} [/mm] (oder wie HJKWeseleit mit x = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n+1} [/mm] geschrieben hat:  [mm] x=\wurzel{a+x}) [/mm]

folgt aus einer ganz anderen Tatsache: [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)^b =\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n^b) [/mm] mit b = [mm] \frac{1}{2} [/mm]
Also der Limes lässt sich in die Wurzel hineinziehen unter der Voraussetzung, dass die Folge unter der Wurzel konvergiert und die Potenz nicht von n abhängt.

Damit ergibt sich unter Anwendung der Grenzwertsätze:

x = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{a+a_n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[(a [/mm] + [mm] a_{n})^{\frac{1}{2}}] [/mm] = [mm] [\limes_{n\rightarrow\infty}(a [/mm] + [mm] a_{n})]^{\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] [\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] a + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n})]^{\frac{1}{2}} [/mm] = [a + [mm] x]^{\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{a+x} [/mm]

also insgesamt: x = [mm] \wurzel{a+x} [/mm]


Wenn du diesbezüglich Fragen hast, kannst du gerne fragen.
In meinen Augen geht nämlich genau dieser Aspekt unter, wieso man zum einen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1} [/mm] schreiben darf, und zum anderen, wieso aus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{a+a_n} [/mm] folgt:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{a+a_n} [/mm] = [mm] \wurzel{a + \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}} [/mm]


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
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