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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Di 17.03.2009 | | Autor: | InoX |
| Aufgabe | | Ein Boot B soll mit Hilfe eines am gegenüberliegenden Ufer befestigten Seiles über den Fluss der Breite b befördert werden. Der Befestigungspunkt des Seils liege dabei genau gegenüber dem Startpunkt des Bootes. Die Fließgeschwindigkeit des Wassers sei konstant [mm] v_w [/mm]. Bestimme unter Voraussetzung einer konstanten Verkürzungsgeschwindigkeit [mm] v_s [/mm] des Seiles die Bahnkurve des Bootes. |
Hallo,
meine Vorgehensweise ist die folgende:
Koordinatenursprung ist Ausgangspunkt des Bootes.
Die y-Achse verläuft Paralel zum Ufer.
Die x-Achse geht durch Befestigungspunkt des Seils.
Für die Länge des Seils gilt ja: [mm] s(t)=b-v_s*t [/mm]
Die Höhe des Bootes, relativ zum Koordinatenursprung, ist: [mm] h(t)=v_w*t [/mm]
Wähle [mm] e_s:=\frac{1}{s}\left(\sqrt{s^2-h^2}*e_x-h*e_y \right) [/mm]
Für die Geschwindigkeit folgt nun:
[mm] v(t)=v_w*e_y+v_s*e_s[/mm]
So, wenn ich nun alles Einsetze, komme ich auf relativ hässliche Integrale. Die sind vielleicht zu lösen, aber ich gehe mal davon aus, dass es eine wesendlich einfachere Methode gibt, an diese Aufgabe ranzugehen oder ich einen Fehler gemacht habe. Ich hoffe mal ihr könnt mir bei dem Problem weiterhelfen.
Liebe Grüße,
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Mi 18.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei deiner Aussage ist sicher falsch, dass [mm] y=h=v_w*t [/mm] ist.
Wenn [mm] v_s=0 [/mm] waere bewegt sich das Boot auf einem Viertelkreisbogen. Wenn [mm] v_s<
Zeichne das Boot irgendwo in Flussrichtung abgetrieben ein, mit Seillaenge<b. dann wirkt eine Kraft in Richtung des seils, nicht senkrecht zur Flussrichtung. Die Bewegung in Flussrichtung wird dadurch nicht mehr [mm] y=v_w*t.
[/mm]
Ueber die richtige Gleichung kann ich dir auch nicht genauerees sagen und zwar aus folgendem Grund: Was spielt die Traegheit fuer eine Rolle? d.h. wie beeinflusst die momentane Geschwindigkeit die Bewegung in der Zeit, gegenueber der Bewegung, von dem momentanen Punkt aus mit v=0.
An der Kreisbewegung bei [mm] v_s=0 [/mm] kannst du sehen, dass man die resultierende Geschw. nicht als addition der 2 Geschw. bekommen kann.
Also voreerst keine Loesung, aber eine Korrektur.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mi 18.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
siehe auch meine Mitteilung.
wegen des Kreises bei [mm] v_s=0 [/mm] ist es sicher besser mit Polarkoordinaten Mittelpunkt am Ufer des Seils zu rechnen. dann weiss man direkt [mm] r(t)=b-v_s*t. [/mm] Wenn man mal die Traegheit klein macht oder wenigstens klein gegenueber der "mitnahmekraft" des Flusse, muss sich das Boot in jedem Moment senkrecht zum Seil bewegen, dann muss man die [mm] \vec{v_w} [/mm] in Tangential richtung bestimmen, und das ist die Geschwindigkeit in Winkelrichtung, also [mm] \phi(t)'
[/mm]
Versuchs mal so. Probe: Kreis fuer [mm] v_s=0
[/mm]
gerade ueber den Fluss fuer [mm] v_s [/mm] gegen [mm] \infty.
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:16 Do 19.03.2009 | | Autor: | InoX |
Hi,
erstmal danke für die Antwort.
Also, wenn man jetzt die Trägheit vernachlässigt, so bekommt man ja in Polarkoordinaten mit Ursprung am Befestigungspunkt des Seils:
[mm] r(t)=s*e_r=(b-v_s*t)*e_r [/mm]
[mm] v(t)=\dot{r}(t)=-v_s*e_r+s*\dot{\phi}*e_\phi [/mm]
Also [mm] v_\phi=s*\dot{\phi} [/mm]
Da nun [mm] v_\phi [/mm] orthogonal zu [mm] v_s [/mm] ist, bekommt man weiterhin
[mm] v_\phi=v_w*cos\phi [/mm]
Gleichsetzen ergibt die DGL:
[mm] s*\dot{\phi}=v_w*cos\phi, \phi(0)=0 [/mm]
Naja, irgendwas muss da noch falsch sein. Denn diese Integrale erscheinen mir noch relativ schwer und wenn man sie berechnen lässt kommt man auch für [mm] \phi(t) [/mm] auf ne recht komplizierte Kurve.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 21.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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