Bewegung, Affinität < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Di 15.01.2013 | | Autor: | dany1995 |
| Aufgabe | Sei [mm] \IR^{n} [/mm] ein euklidischer affiner Raum. Zeigen Sie, dass jede Bewegung [mm] \beta [/mm] von [mm] \IR^{n} [/mm] eine Affinität der Form [mm] \beta(x)= [/mm] Mx+t ist, wobei M [mm] \in [/mm] O(n) und t [mm] \in \IR^{n}.
[/mm]
O(n) ist hier die Menge orthogonaler Matrizen. |
Ich vorbereite mich gerade für meine Klausur in Geometrie.
Leider habe ich mit folgender Aufgabe Schwirigkeiten.
Irgendwie sind Beweisaufgaben nicht meine Sache.
Ich weiß einfach nicht wie ich anfangen soll und auch nicht wie....
Kann mir irgendjemand helfen bitte, bitte :-(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Di 15.01.2013 | | Autor: | Rob22 |
Ich würde zeigen, dass jede euklidische Bewegung, die den Nullpunkt festhält äquivalent dazu ist, dass diese durch Multiplikation von links mit einer orthogonalen Matrix gegeben ist. Dann kannst du dir die Komposition ansehen einer Translation und der Bewegung. Betrachte mal die Abbildung [mm] \beta(x)=Ax+b, [/mm] dann weißt du auch schon was b ist. Konstruiere nun mit dieser Kenntnis eine zusammengesetzte eukl. Bewegung, die den Nullpunkt festhält. Wenn ihr dann Ersteres bereits in der Vl hattet, dann kannst du damit folgern oder du musst es noch zeigen.
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Rob22 |
Wenn du es nicht siehst, dann solltest du deine Abbildung als Komposition des linearen Teils und der Translation beschreiben. Zeige nun für diese Verknüpfung, dass diese das Skalarprodukt erhält, also [mm] \IR [/mm] -linear ist. Dies ist nach Linearer Algebra äquivalent dazu, dass deine Komposition orthogonal ist [mm] \gdw [/mm] Deine Matrix ist orthogonal bez. der Basiswechselmatrix mit einer Orthonormalbasis. Dann umschreibe dieses zu deiner beliebigen Bewegung und du bist fertig. Falls notwendig musst du zeigen, dass die Komposition von 2 Bewegungen auch eine Bewegung ist. Solltet ihr einen Satz haben, der die Bewegungen auf eine Gruppe zurückführt, dann sollte das schon reichen (würde ich aber erwähnen). Meistens hat man auch einen Satz, der sagt, dass die Spalten einer Matrix eine Orthonormalbasis bilden äquivalent dazu ist, dass die Matrix orthogonal ist.
gruß
|
|
|
|
