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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Beweis
Beweis < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:00 Mi 25.05.2005
Autor: Figurenzauberer

Aufgabe:
Zeigen Sie allgemein, dass sich der Mittelpunkt M eines Parallelogramms ABCD durch die Gleichung
(Vektor) OM= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] (OA+OB+OC+OD)
berechnen lässt.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:45 Mi 25.05.2005
Autor: FriedrichLaher

Hallo Figurenzauber

unter der Voraussetzng dass es wirklich ein Parallelogramm ist
und
daß AC und BD Diagonalen sind
gilt
sowohl 2*OM = OA + OC als auch 2*OM = OB + OD
also
4*OM = OA + OB + OC + OD
(
aber eigentlich ist es egal, ob ( AC und BD ) oder ( AB und CD)
die Diagonalen sind
)

Bezug
                
Bezug
Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:29 Mi 25.05.2005
Autor: Figurenzauberer

Vielen Dank für die Lösung,
Ich kann sie in ihrer Richtigkeit nachvollziehen, wäre aber noch dankbar zu erfahren worauf sich die Annahme   2OM=OA+OC gründet.
Grüße Sascha

Bezug
                        
Bezug
Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:02 Mi 25.05.2005
Autor: Herby

Hi Sascha,

[mm] \overrightarrow{OM} [/mm] ist doch die halbe Strecke zwischen [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] und [mm] \overrightarrow{OC}. [/mm] Um also vom Punkt [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] an den Punkt [mm] \overrightarrow{OC} [/mm] zu gelangen, musst du 2 mal diese Strecke gehen.
Ebenso gelangst du von [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] nach [mm] \overrightarrow{OC}, [/mm] indem du [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] und [mm] \overrightarrow{OB} [/mm] addierst, daher [mm] 2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}. [/mm]

Sind die Punkte anders bezeichnet, so ändern sich halt die Ortsvektoren.


lg
Herby

Bezug
        
Bezug
Beweis: Mitte halbiert Diagonalen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Mi 25.05.2005
Autor: informix

Hallo Sascha,
[willkommenmr]
Wir würden uns über eine nette Anrede auch sehr freuen. ;-)

> Aufgabe:
>  Zeigen Sie allgemein, dass sich der Mittelpunkt M eines
> Parallelogramms ABCD durch die Gleichung
>  (Vektor) OM= [mm]\bruch{1}{4}[/mm] (OA+OB+OC+OD)
>  berechnen lässt.
>  

Friedrich schrieb:

> > unter der Voraussetzng dass es wirklich ein Parallelogramm ist und
> > daß AC und BD Diagonalen sind, gilt:
> > sowohl 2*OM = OA + OC als auch 2*OM = OB + OD
> > also
> > 4*OM = OA + OB + OC + OD

Sicherlich kennst du die Formel für die Berechnung für die Mitte einer Strecke [mm] \overline{AC}: [/mm]
[mm] $\overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$ [/mm] Mitte der Strecke AC
[mm] $\Rightarrow 2*\overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$ [/mm]
entsprechend:
[mm] $\overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})$ [/mm]  Mitte der Strecke BD

Wenn man nun weiß, dass sich die Diagonalen halbieren, ist M jeweils derselbe Punkt und man darf beide Gleichungen addieren.

Jetzt klar(er)?


Bezug
                
Bezug
Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:51 Do 26.05.2005
Autor: Figurenzauberer

Hallo informix, einen wunderschönen Feiertag wünsche ich dir und allen Nutzern dieses Forums. :-)
Also vielen Dank für die Erläuterung, ich kann sie gut nachvollziehen.
Grüße Sascha

Bezug
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