Beweis AT*A=A*AT<=>A Sym/Ortho < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 Di 09.12.2014 | | Autor: | asg |
| Aufgabe | Es sei [mm]A \in \IR^{2 \timex 2}[/mm].
Beweisen Sie: Es gilt [mm]A^T * A = A * A^T [/mm] genau dann, wenn gilt:
entweder [mm]A = \pmat{ a & b \\ -b & a }[/mm] mit [mm]a, b \in \IR[/mm] oder [mm]A = \pmat{ \tilde{a} & \tilde{b} \\ \tilde{b} & \tilde{c} }[/mm] mit [mm]a, b, c \in \IR[/mm]
D. h. die Spalten von [mm]A[/mm] sind orthogonal oder [mm]a=A^T[/mm] (d. h. [mm]A[/mm] ist symmetrisch).
Hinweis: Nutzen Sie [mm]x^2=y^2 \Leftrightarrow(x=y \lor x=-y)[/mm] und [mm]z * x = z * y \Leftrightarrow (x=y \lor z = 0)[/mm]
[mm][/mm] |
Hallo zusammen,
mein Beweis für die obige Aufgabe sieht wie folgt aus:
Voraussetzung:
entweder [mm]A = \pmat{ a & b \\ -b & a }[/mm] mit [mm]a, b \in \IR[/mm] oder [mm]A = \pmat{ \tilde{a} & \tilde{b} \\ \tilde{b} & \tilde{c} }[/mm] mit [mm]a, b, c \in \IR[/mm]
Behauptung:
[mm]A^T * A = A * A^T [/mm]
Beweis:
I.
[mm]A^T:=\pmat{ a & -b \\ b & a }[/mm]
[mm]A^T * A =\pmat{ a & -b \\ b & a } * \pmat{ a & b \\ -b & a } = \pmat{ a & b \\ -b & a } * \pmat{ a & -b \\ b & a } = A * A^T[/mm]
[mm]A^T * A =\pmat{ a^2+b^2 & a*b-b*a \\ b*a-a*b & b^2+a^2} = \pmat{ a^2+b^2 & -a*b+b*a \\ -b*a+a*b & b^2+a^2} = A * A^T[/mm]
[mm]A^T * A =\pmat{ a^2+b^2 & 0 \\ 0 & b^2+a^2} = \pmat{ a^2+b^2 & 0 \\ 0 & b^2+a^2} = A * A^T[/mm]
II.
[mm]A^T:=\pmat{ \tilde{a} & \tilde{b} \\ \tilde{b} & \tilde{c} }[/mm]
Da [mm]A^T=\pmat{ \tilde{a} & \tilde{b} \\ \tilde{b} & \tilde{c} }=A[/mm], müsste doch der Beweis eigentlich hier zu Ende sein und die nächste Zeile wäre somit überflüssig, oder?
[mm]A^T * A =\pmat{ \tilde{a} & \tilde{b} \\ \tilde{b} & \tilde{c} } * \pmat{ \tilde{a} & \tilde{b} \\ \tilde{b} & \tilde{c} } = \pmat{ \tilde{a} & \tilde{b} \\ \tilde{b} & \tilde{c} } * \pmat{ \tilde{a} & \tilde{b} \\ \tilde{b} & \tilde{c} } = A * A^T[/mm]
q.e.d.
Ich bin mir nicht sicher, ob der Beweis so ok ist. Es kommt mir sehr kurz vor.
Außerdem kann ich den Hinweis am Ende der Aufgabenstellung nicht nachvollziehen, wenn mein Beweis korrekt sein sollte.
Kann mir bitte jemand sagen, ob mein Beweis richtig und vollständig ist und was der Hinweis zu bedeuten hat?
Vielen Dank vorab
Viele Grüße
Asg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Mi 10.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
du hast nur eine Richtung gezeigt, nämlich die einfachere.
Zu zeigen ist (noch), dass wenn A mit seiner Transponierten vertauscht symmetrisch ist oder die Form $ [mm] \pmat{ a & b \\ -b & a } [/mm] $ hat. Dafür ist der Tip hilfreich.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:27 Mi 10.12.2014 | | Autor: | asg |
Hallo,
Dankeschön für die Hilfe.
Ok, stimmt - es ist ja eine Äquivalenz. Den Beweis für die andere Richtung bekomme ich leider nicht.
Was ich bisher versucht habe, ist folgendes (evtl. ist es Unsinn, was ich gemacht habe, aber mir fiel nichts besseres ein):
[mm] \begin{array}{l}A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}p&q\\r&s\end{array}} \right)\\
{A^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}p&r\\q&s\end{array}} \right)\\\\
{A^T} \cdot A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}p&r\\q&s\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}p&q\\r&s\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {r^2}}&{p \cdot q + r \cdot s}\\{q \cdot p + s \cdot r}&{{q^2} + {s^2}}\end{array}} \right)\\
\\
A \cdot {A^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}p&q\\r&s\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}p&r\\q&s\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {q^2}}&{p \cdot r + q \cdot s}\\{r \cdot p + s \cdot q}&{{r^2} + {s^2}}\end{array}} \right)\\
\\{A^T} \cdot A = A \cdot {A^T}\\
\Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {r^2}}&{p \cdot q + r \cdot s}\\{q \cdot p + s \cdot r}&{{q^2} + {s^2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {q^2}}&{p \cdot r + q \cdot s}\\
{r \cdot p + s \cdot q}&{{r^2} + {s^2}}\end{array}} \right)\\
\Rightarrow {r^2} = {q^2} \Leftrightarrow (r = q \vee r = - q)
und
r \cdot s = q \cdot s \Leftrightarrow (r = q \vee s = 0)\\
\\
\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{p^2} + {r^2}}&{p \cdot q + r \cdot 0}\\{q \cdot p + 0 \cdot r}&{{q^2} + {0^2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {q^2}}&{p \cdot r + q \cdot 0}\\{r \cdot p + 0 \cdot q}&{{r^2} + {0^2}}\end{array}} \right)\\
\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {r^2}}&{p \cdot q}\\{q \cdot p}&{{q^2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {q^2}}&{p \cdot r}\\{r \cdot p}&{{r^2}}\end{array}} \right)\end{array}
[/mm]
Mir fehlt die Idee, wie ich aus [mm] A^T \cdot [/mm] A bzw. A [mm] \cdot A^T [/mm] wider A herausholen kann.
Ich muss es mir noch überlegen bzw. wenn du mir noch einen Tipp geben könntest, in welche Richtung ich weiter machen muss, würde ich mich freuen.
Vielen Dank für die Hilfe
Liebe Grüße
Asg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:21 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Dankeschön für die Hilfe.
>
> Ok, stimmt - es ist ja eine Äquivalenz. Den Beweis für
> die andere Richtung bekomme ich leider nicht.
>
> Was ich bisher versucht habe, ist folgendes (evtl. ist es
> Unsinn, was ich gemacht habe, aber mir fiel nichts besseres
> ein):
>
> [mm]\begin{array}{l}A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}p&q\\r&s\end{array}} \right)\\
{A^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}p&r\\q&s\end{array}} \right)\\\\
{A^T} \cdot A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}p&r\\q&s\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}p&q\\r&s\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {r^2}}&{p \cdot q + r \cdot s}\\{q \cdot p + s \cdot r}&{{q^2} + {s^2}}\end{array}} \right)\\
\\
A \cdot {A^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}p&q\\r&s\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}p&r\\q&s\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {q^2}}&{p \cdot r + q \cdot s}\\{r \cdot p + s \cdot q}&{{r^2} + {s^2}}\end{array}} \right)\\
\\{A^T} \cdot A = A \cdot {A^T}\\
\Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {r^2}}&{p \cdot q + r \cdot s}\\{q \cdot p + s \cdot r}&{{q^2} + {s^2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {q^2}}&{p \cdot r + q \cdot s}\\
{r \cdot p + s \cdot q}&{{r^2} + {s^2}}\end{array}} \right)\\
\Rightarrow {r^2} = {q^2} \Leftrightarrow (r = q \vee r = - q)
und
r \cdot s = q \cdot s \Leftrightarrow (r = q \vee s = 0)\\
\\
\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{p^2} + {r^2}}&{p \cdot q + r \cdot 0}\\{q \cdot p + 0 \cdot r}&{{q^2} + {0^2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {q^2}}&{p \cdot r + q \cdot 0}\\{r \cdot p + 0 \cdot q}&{{r^2} + {0^2}}\end{array}} \right)\\
\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {r^2}}&{p \cdot q}\\{q \cdot p}&{{q^2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {q^2}}&{p \cdot r}\\{r \cdot p}&{{r^2}}\end{array}} \right)\end{array}[/mm]
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> Mir fehlt die Idee, wie ich aus [mm]A^T \cdot[/mm] A bzw. A [mm]\cdot A^T[/mm]
> wider A herausholen kann.
>
> Ich muss es mir noch überlegen bzw. wenn du mir noch einen
> Tipp geben könntest, in welche Richtung ich weiter machen
> muss, würde ich mich freuen.
Fangen wir weiter oben an: aus
[mm] \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {r^2}}&{p \cdot q + r \cdot s}\\{q \cdot p + s \cdot r}&{{q^2} + {s^2}}\end{array}} \right) [/mm] = [mm] \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {q^2}}&{p \cdot r + q \cdot s}\\
{r \cdot p + s \cdot q}&{{r^2} + {s^2}}\end{array}} \right)\\
[/mm]
bekommen wir
[mm] q^2=r^2
[/mm]
und
pq+rs=pr+qs
Die 2. Gleichung kannst Du auch so schreiben:
p(q-r)=s(q-r)
Fall 1: q=r. Dann ist A symmetrisch und Du bist fertig.
Fall 2: q [mm] \ne [/mm] r. Dann ist p=s. Wegen [mm] q^2=r^2 [/mm] folgt auch noch q=-r. Fertig.
FRED
>
> Vielen Dank für die Hilfe
>
> Liebe Grüße
>
> Asg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Mi 10.12.2014 | | Autor: | asg |
Hallo,
> Fangen wir weiter oben an: aus
> [mm]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {r^2}}&{p \cdot q + r \cdot s}\\{q \cdot p + s \cdot r}&{{q^2} + {s^2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {q^2}}&{p \cdot r + q \cdot s}\\ {r \cdot p + s \cdot q}&{{r^2} + {s^2}}\end{array}} \right)\\[/mm]
> bekommen wir
> [mm]q^2=r^2[/mm]
> und
> pq+rs=pr+qs
> Die 2. Gleichung kannst Du auch so schreiben:
> p(q-r)=s(q-r)
> Fall 1: q=r. Dann ist A symmetrisch und Du bist fertig.
Ok, jetzt verstehe ich es.
Dann muss ich vielleicht der Vollständigkeit halber [mm]q[/mm] und [mm]r[/mm] entsprechend vertauschen:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {r^2}}&{p \cdot r + q \cdot s}\\{q \cdot p + s \cdot r}&{{q^2} + {s^2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {q^2}}&{p \cdot r + q \cdot s} \\ {q \cdot p + s \cdot r}&{{r^2} + {s^2}}\end{array}} \right)\\[/mm]
> Fall 2: q [mm]\ne[/mm] r. Dann ist p=s. Wegen [mm]q^2=r^2[/mm] folgt auch noch q=-r. Fertig.
Ok, d. h. weil [mm]\pm q = \pm r[/mm], gibt es die folgenden vier Kombinationen und die dritte Kombination wäre [mm]q=-r[/mm].
[mm]q r[/mm]
[mm]- -[/mm]
[mm]- +[/mm]
[mm]+ -[/mm]
[mm]+ +[/mm]
Verstehe ich es richtig?
> FRED
Dankeschön für die Hilfe.
Viele Grüße
Asg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Wenn [mm] q^2=r^2 [/mm] ist, aber q [mm] \ne [/mm] r, so ist q=-r.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Mi 10.12.2014 | | Autor: | asg |
Hallo,
> > Die 2. Gleichung kannst Du auch so schreiben:
> > p(q-r)=s(q-r)
> > Fall 1: q=r. Dann ist A symmetrisch und Du bist fertig.
> Ok, jetzt verstehe ich es.
> Dann muss ich vielleicht der Vollständigkeit halber [mm]q[/mm] und [mm]r[/mm] entsprechend vertauschen:
> [mm]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {r^2}}&{p \cdot r + q \cdot s}\\{q \cdot p + s \cdot r}&{{q^2} + {s^2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} + {q^2}}&{p \cdot r + q \cdot s} \\ {q \cdot p + s \cdot r}&{{r^2} + {s^2}}\end{array}} \right)\\[/mm]
Hier habe ich mich vertan, wenn ich es zeigen möchte, dann muss ich die Vertauschung für die beiden A Matrizen vornehmen.
1. Fall: [mm]q = r[/mm] Symmetrie:
[mm]A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}p&q\\q&s\end{array}} \right)[/mm]
2. Fall: [mm]q = -r[/mm] und [mm]p = s[/mm] Spalten der Matrix sind orthogonal:
[mm]A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}p&q\\-q&p\end{array}} \right)[/mm]
> Wenn [mm]q^2=r^2[/mm] ist, aber q [mm]\ne[/mm] r, so ist q=-r.
Ok, jetzt ist es mir klar geworden.
> FRED
Vielen Dank
Schöne Grüße
Asg
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