Beweis: Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Kati |
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Internetforum gestellt.
Hi!
Ich hab hier folgende Aufgabe:
Beweisen Sie:
Für V [mm] \subseteq [/mm] Y gilt f ( [mm] f^{-1} [/mm] ( V )) [mm] \subseteq [/mm] V . gleichheit gilt genau dann für jedes V [mm] \subset [/mm] Y , wenn f surjektiv ist.
Also ich weiß hier garnet was ich hier jetzt im einzelnen beweisen soll. Auch den ersten Teil oder soll ich das einfach als gegeben hinnehmen. Und im 2. Teil weiß ich gar net was genau gemeint ist. Wo gilt Gleichheit? Logisch wär für mich f ( [mm] f^{-1} [/mm] ( V )) = V , aber irgendwie find ich das sich das net danach anhört.
Gruß Kati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, zur Inklusion [mm] $f(f^{-1}(V)) \subseteq [/mm] V$:
Ist $w [mm] \in f(f^{-1}(V))$, [/mm] dann gibt es ein $v [mm] \in f^{-1}(V)$ [/mm] mit $f(v)=w$. Wegen $v [mm] \in f^{-1}(V)$ [/mm] gilt aber: $f(v) [mm] \in [/mm] V$, also $w [mm] \in [/mm] V$.
Sei nun $f$ surjektiv und $V [mm] \subseteq [/mm] Y$ beliebig gewählt. Weiterhin sei $v [mm] \in [/mm] V$ beliebig gewählt. Dann gibt es ein $w [mm] \in [/mm] X$ mit $f(w)=v$, also: [mm] $w\in f^{-1}(V)$. [/mm] Dann aber ist $v =f(w) [mm] \in f(f^{-1}(V))$.
[/mm]
Umgekehrt sei $w [mm] \in [/mm] Y$ beliebig gewählt. Da nach Voraussetzung insbesondere [mm] $\{w\} [/mm] = [mm] f(f^{-1}(\{w\})$ [/mm] gilt, gibt es ein $v [mm] \in f^{-1}(\{w\})$ [/mm] mit $f(v) =w$. Damit ist $f$ surjektiv.
Genau, es war die Gleichheit
[mm] $f(f^{-1}(V)) [/mm] = V$
zu zeigen, du hattest es schon richtig verstanden...
Liebe Grüße
Stefan
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