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Aufgabe:
Seien V und W Vektorräume.
Ist $ [mm] (v_i)_{i \in I} [/mm] $ eine Basis von V, $ [mm] (w_j)_{j \in J} [/mm] $ eine Basis von W.
Zeige: $ [mm] \{(v_i, 0): i \in I\} \cup \{(0, w_j ): j \in J \} [/mm] $ ist eine Basis des kartesischen Produkts V x W.
Zeige, dass für dim(V), dim(W) < [mm] $\infty$ [/mm] gilt: dim(VxW) = dim(V) + dim(W) |
Okay. Los gehts!
Ich zeige:
1) Die Vereinigung der beiden Mengen ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V x W.
Die Definition sagt erst einmal: $VxW := [mm] \{(v,w): v\in V, w \in W\}$
[/mm]
Vektoren werden weiterhin wie folgt addiert:
$ (v,u) + (x,y) = (v+x, u+y)$
d.h.:
$ (v,0) + (0,w) = (v,w)$
Nun ist
$ v = [mm] \sum (l_i \cdot v_i) [/mm] $ und
$ w= [mm] \sum (k_j \cdot w_j)$.
[/mm]
Es folgt:
$(v,w) = [mm] (\sum l_i\cdotv_i [/mm] , 0) + (0, [mm] \sum k_j \cdot w_j) [/mm] = [mm] \sum l_i(v_i, [/mm] 0) + [mm] \sum k_j [/mm] (0, [mm] w_j) [/mm] $
Und nun? =/
[ die Darstellung von v bzw. w als Summe wurde als Hinweis angegeben ].
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Es fehlt noch die Eigenschaft der linearen Unabhängigkeit. Da führe ich eigentlich die eben gemachte Rechnung rückwärts durch:
Ich setze zunächst die Summe gleich 0:
$ [mm] \sum l_i (v_i, [/mm] 0) + [mm] \sum k_j(0, w_j) [/mm] = 0$
und erhalte dann, dass eben beide Summen gleich 0 sein müssen, d.h.:
$ [mm] \sum l_i (v_i, [/mm] 0) = 0 $ und $ [mm] \sum k_j [/mm] (0, [mm] w_j) [/mm] = 0$.
Nun muss folgen dass alle [mm] $l_i [/mm] $ und [mm] $k_j$ [/mm] gleich 0 sind.
Aber warum sind sie das?
2) Ich zeige:
dim (VxW) = dim V + dim W
Die Dimension eines Vektorraums = Mächtigkeit der Basis.
??
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Du gehst von einer Linearkombination des Nullvektors aus und mußt zeigen, daß sie nur trivial sein kann:
[mm]\sum_{i \in I} l_i (v_i,0) + \sum_{j \in J} k_j (0,w_j) = (0,0)[/mm]
Nur endlich viele der Skalare [mm]l_i[/mm] und [mm]k_j[/mm] sind von Null verschieden.
Die skalare Multiplikation im Produktraum erfolgt durch Hineinziehen des Skalars in die Koordinaten:
[mm]\sum_{i \in I} (l_i v_i,0) + \sum_{j \in J} (0,k_j w_j) = (0,0)[/mm]
Die Nullen in der jeweils anderen Koordinate haben sich dabei nicht geändert, da [mm]l_i \cdot 0 = 0[/mm] und [mm]k_j \cdot 0 = 0[/mm] ist.
Die Addition im Produktraum erfolgt koordinatenweise (in der jeweils anderen Koordiante werden Nullen addiert, was wieder Null ergibt):
[mm]\left( \sum_{i \in I} l_i v_i \, , \, 0 \right) \ + \ \left( 0 \, , \, \sum_{j \in J} k_j w_j \right) = (0,0)[/mm]
Und noch einmal koordinatenweise addieren:
[mm]\left( \sum_{i \in I} l_i v_i \, , \, \sum_{j \in J} k_j w_j \right) = (0,0)[/mm]
Zwei Elemente des Produktraumes sind gleich, wenn sie in den Koordinaten übereinstimmen:
[mm]\sum_{i \in I} l_i v_i = 0 \ \ \wedge \ \ \sum_{j \in J} k_j w_j = 0[/mm]
Und jetzt haben wir zwei Gleichungen, eine spielt allein in [mm]V[/mm], die andere allein in [mm]W[/mm]. Und weil die lineare Unabhängigkeit der [mm]v_i[/mm] und der [mm]w_j[/mm] vorausgesetzt war, ergibt sich [mm]l_i = 0[/mm] und [mm]k_j = 0[/mm] für jeweils alle [mm]i,j[/mm].
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Vielen Dank! Werde mir das in Ruhe nochmal anschauen, aber scheint soweit sehr verständlich 
Was den letzten Teil angeht:
dim(VxW) = dim(V) + dim(W).
Intuitiv erkenne ich, was gemeint ist. Denn vorher wurde ja bereits gezeigt, dass die Vereinigung wieder eine Basis ist, d.h. alle Vektoren linear unabhängig sind.
Reicht das als Begründung aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Sa 30.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank! Werde mir das in Ruhe nochmal anschauen, aber
> scheint soweit sehr verständlich
>
> Was den letzten Teil angeht:
>
> dim(VxW) = dim(V) + dim(W).
>
> Intuitiv erkenne ich, was gemeint ist. Denn vorher wurde ja
> bereits gezeigt, dass die Vereinigung wieder eine Basis
> ist, d.h. alle Vektoren linear unabhängig sind.
> Reicht das als Begründung aus?
Nein.
Sei dim V=n und dim W=m.
[mm] (v_1,...,v_n) [/mm] sei eine Basis von V und [mm] (w_1,...,w_m) [/mm] eine Basis von W
Nun wissen wir schon
$B:= [mm] \{(v_i, 0): i \in \{1,...,n\}\} \cup \{(0, w_j ): j \in \{1,...,m\}\} [/mm] $
ist eine Basis von VxW.
Die Anzahl der Elemente von B ist die Dimension von VxW.
FRED
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