Beweis: Basis von R(2x2) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Sa 18.09.2010 | | Autor: | lemur |
| Aufgabe | Zeige, dass die Menge
B = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & -1
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
2 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
eine Basis von [mm] \IR^{2x2}\ [/mm] ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dabei gilt es zu beweisen, dass die Matrizen sowohl linear unabhängig als auch Erzeugendensystem sind.
Die lineare unabghängigkeit habe ich so bewiesen:
[mm] a\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & -1
\end{pmatrix}, b\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} [/mm] , [mm] c\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} [/mm] , [mm] d\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
2 & 1
\end{pmatrix} [/mm] = 0
gilt eben nur, wenn a=b=c=d = 0 ist.
Dafür habe ich die Matrizen in eine Vektorform gebracht
[mm] \begin{pmatrix} a+2b-d \\ 2a-b+c \\ b-c+2d \\ -a + 2c + d \end{pmatrix} [/mm]
nach 0 aufgelöst und herausgefunden, dass dies eben nur gilt wenn a=b=c=d = 0 ist. Also sind die Matrizen lin. unabhängig.
Weitergehend gilt es dann noch zu beweisen, dass sie Erzeugendensystem sind.
Allerdings weiß ich da nicht so genau wie ich ansetzen soll, ich hab mir schon überlegt, dass dabei ja jeder beliebige 4-Tupel erzeugt werden kann, also müsste auch gelten:
[mm] \begin{pmatrix} a+2b-d \\ 2a-b+c \\ b-c+2d \\ -a + 2c + d \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \end{pmatrix} [/mm]
Wenn ich das dann aber auflöse komm ich auf Ergebnisse von denen ich nicht weiß wie ich sie verwerten soll.
(z.B 8d = x2 + 3x3 + x4)
Wär nett wenn mir jemand sagen könnte wie ich denn beweise, dass es ein Erzeugendensystem ist.
Viele Grüße und danke schonmal
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Hallo,
> Zeige, dass die Menge
> B = [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & -1
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
> , [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}[/mm] , [mm]\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
2 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
> eine Basis von [mm]\IR^{2x2}\[/mm] ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Dabei gilt es zu beweisen, dass die Matrizen sowohl linear
> unabhängig als auch Erzeugendensystem sind.
>
> Die lineare unabghängigkeit habe ich so bewiesen:
>
> [mm]a\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & -1
\end{pmatrix}, b\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
> , [mm]c\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}[/mm] , [mm]d\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
2 & 1
\end{pmatrix}[/mm] = 0
>
Statt den Kommas, sollen das sicherlich Plus-Zeichen sein.
> gilt eben nur, wenn a=b=c=d = 0 ist.
>
> Dafür habe ich die Matrizen in eine Vektorform gebracht
>
> [mm]\begin{pmatrix} a+2b-d \\ 2a-b+c \\ b-c+2d \\ -a + 2c + d \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> nach 0 aufgelöst und herausgefunden, dass dies eben nur
> gilt wenn a=b=c=d = 0 ist. Also sind die Matrizen lin.
> unabhängig.
>
Ok, das Prinzip ist auf jeden Fall korrekt.
Da du keine Rechnung gepostet hast, kann ich diese auch nicht kontrollieren.
> Weitergehend gilt es dann noch zu beweisen, dass sie
> Erzeugendensystem sind.
>
> Allerdings weiß ich da nicht so genau wie ich ansetzen
> soll, ich hab mir schon überlegt, dass dabei ja jeder
> beliebige 4-Tupel erzeugt werden kann, also müsste auch
> gelten:
>
>
> [mm]\begin{pmatrix} a+2b-d \\ 2a-b+c \\ b-c+2d \\ -a + 2c + d \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \end{pmatrix}[/mm]
Ja, du musst nachweisen, dass du jede beliebige Matrix [mm] \pmat{ x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 } [/mm] durch linearkombiantion deiner 4 Matrizen darstellen kannst. Der Ansatz ist also korrekt.
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> Wenn ich das dann aber auflöse komm ich auf Ergebnisse von
> denen ich nicht weiß wie ich sie verwerten soll.
>
> (z.B 8d = x2 + 3x3 + x4)
>
Na, du musst hier nach a,b,c und d auflösen. Denn dann weißt du für beliebige Einträge [mm] x_1-x_4 [/mm] die Werte der Skalare a-d für die Darstellung durch Linearkombination.
Gruß Patrick
> Wär nett wenn mir jemand sagen könnte wie ich denn
> beweise, dass es ein Erzeugendensystem ist.
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> Viele Grüße und danke schonmal
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