Beweis Bedingungen für sup < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:34 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Sei X ⊂ R eine nach oben beschränkte Menge, und sei Y ⊂ R die Menge aller oberen
Schranken von X. Sei s ∈ R. Beweisen Sie: Genau dann ist s = sup X, wenn es Folgen (xn)
in X und (yn) in Y mit der Eigenschaft limn→∞ xn = s und limn→∞ yn = s gibt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Lösungsansatz:
Angenommen s = sup X, dann gibt es eine Folge xn > s-(1/n) mit n Element N und xn Element X. Denn wenn es diese Folge nicht gäbe wäre s-(1/n)< s = sup X schon eine obere Schranke von X. Es gilt also s-(1/n) < xn <= s ,
weil xn nach Definition kleiner gleich s = sup X sein muss.
Einschnürungsprinzip --> lim s- (1/n) = lim xn = lim s = s
Analog für yn : Es gibte eine Folge yn < s+ (1/n) mit n Element N und yn Element Y. Eine solche Folge existiert weil sonst s+(1/n) > s = sup X die kleinste obere Schranke wäre.
Dann s <= yn < s+ (1/n) und lim s = lim yn = lim s+(1/n) = s
Andere Richtung: Angenommen es existieren Folgen xn und yn mit lim xn = lim yn = s und xn Element X und yn Element Y. Dann gibt es nach Vorraussetzung eine kleinste obere Schranke von X, die s'heiße.
s'ist die größte untere Schranke von Y. Der Grenzwert einer Folge in X kann maximal s'sein, sonst wäre s'keine kleinste obere Schranke von X. Der Grenzwert einer Folge in Y kann minimal s'sein sonst wäre s'keine größte untere Schranke von Y. Also kann der Grenzwert von zwei Folgen xn und yn mit xn Element X und yn Element Y nur in s'übereinstimmen. Nach Vorraussetzung existieren Folgen xn und yn mit lim xn = lim yn = s also muss s = s'= sup X sein.
Ist dieser Beweis ausreichend und korrekt? Besonders beim 2. Teil bin ich mir unsicher, muss ich z.B. noch beweisen, dass s'größte untere Schranke von Y ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:10 Sa 30.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei X ⊂ R eine nach oben beschränkte Menge, und sei Y
> ⊂ R die Menge aller oberen
> Schranken von X. Sei s ∈ R. Beweisen Sie: Genau dann ist
> s = sup X, wenn es Folgen (xn)
> in X und (yn) in Y mit der Eigenschaft limn→∞ xn = s
> und limn→∞ yn = s gibt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> Angenommen s = sup X, dann gibt es eine Folge xn > s-(1/n)
> mit n Element N und xn Element X. Denn wenn es diese Folge
> nicht gäbe wäre s-(1/n)< s = sup X schon eine obere
> Schranke von X. Es gilt also s-(1/n) < xn <= s ,
> weil xn nach Definition kleiner gleich s = sup X sein
> muss.
> Einschnürungsprinzip --> lim s- (1/n) = lim xn = lim s =
> s
> Analog für yn : Es gibte eine Folge yn < s+ (1/n) mit n
> Element N und yn Element Y. Eine solche Folge existiert
> weil sonst s+(1/n) > s = sup X die kleinste obere Schranke
> wäre.
> Dann s <= yn < s+ (1/n) und lim s = lim yn = lim s+(1/n) =
> s
>
Prima
> Andere Richtung: Angenommen es existieren Folgen xn und yn
> mit lim xn = lim yn = s und xn Element X und yn Element Y.
> Dann gibt es nach Vorraussetzung eine kleinste obere
> Schranke von X, die s'heiße.
> s'ist die größte untere Schranke von Y. Der Grenzwert
> einer Folge in X kann maximal s'sein, sonst wäre s'keine
> kleinste obere Schranke von X.
Ab hier kannst Du abkürzen:
es ist [mm] x_n \le [/mm] s' [mm] \le y_n [/mm] für alle n.
Mit dem Einschnürungssatz folgt s=s'
FRED
> Der Grenzwert einer Folge in
> Y kann minimal s'sein sonst wäre s'keine größte untere
> Schranke von Y. Also kann der Grenzwert von zwei Folgen xn
> und yn mit xn Element X und yn Element Y nur in
> s'übereinstimmen. Nach Vorraussetzung existieren Folgen xn
> und yn mit lim xn = lim yn = s also muss s = s'= sup X
> sein.
>
> Ist dieser Beweis ausreichend und korrekt? Besonders beim
> 2. Teil bin ich mir unsicher, muss ich z.B. noch beweisen,
> dass s'größte untere Schranke von Y ist?
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