Beweis Binomialkoeffizient < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] n*2^{n-1} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n [/mm] k [mm] \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} [/mm] |
hab folgendes gemacht:
[mm] n*(1+1)^{n-1} [/mm] = n [mm] \sum_{k=1}^{n-1} \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix}
[/mm]
jetzt komme ich leider nicht weiter. Wie kann ich denn das n so umformen das die Summe bis n laeuft und dann auch noch das k als koeffizient drin is?
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Do 13.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Es ist [mm] $k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$...
[/mm]
Lg
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[mm] n*(1+1)^{n-1} [/mm] = n [mm] \sum_{k=1}^{n-1} \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n-1} [/mm] k [mm] \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n-1} [/mm] k [mm] \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac{n-k}{k+1}
[/mm]
jetzt fehlt mir eigentlich nur noch den letzten Bruch in die Summe zu bringen dass diese bis n laeuft. Bestimmt ganz einfach, aber ich sehs nicht ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Do 13.11.2008 | | Autor: | pelzig |
[mm] $n2^{n-1}=n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}=\sum_{k=1}^nn\binom{n-1}{k-1}=...$
[/mm]
Robert
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