Beweis Bolzano-Weierstraß < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | "...Wir konstruieren nun durch vollständige Induktion eine Folge von Abgeschlossenen Intervallen [mm] I_{k} \subset \IR [/mm] . k [mm] \in \IN [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
(i) ...
(ii)...
(iii) diam [mm] (I_{k})= 2^{-k} diam(I_{0})
[/mm]
..." |
Zuerst: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. ;)
Also, ich sitze gerade am Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstraß aus dem Forster - Analysis 1. (S.46)
Die prinzipielle Idee hinter dem Beweis ist mir schon halbwegs klar, jedoch verstehe ich nicht ganz was er in seinem Beweis an der Stelle macht.
Ok er definiert die Länge des Intervalls [mm] I_{k} [/mm] mit [mm] 2^{-k} [/mm] mal der Länge des Startintervalls, aber wieso [mm] 2^{-k} [/mm] mal die Länge des Ausgangsintervalls?
Irgendwie ist auch der Beweis im Forster, der einzige, der so an die Sache heran geht. Bei den meisten anderen, die ich so gefunden habe, wird meist direkt das Ausgangsintervall in 2 Intervalle unterteilt und dann halt immer weiter das, welche die unendlich vielen Folgeglieder hat weiter ausgewählt etc pp.
Funktioniert sonst die vollständige Induktion über diese abgeschlossenen Intervalle nicht? Mich verwirrt halt dieses [mm] 2^{-k} [/mm] weil ich nicht weiß wo es herkommt...wäre für Aufklärung dankbar...^^
P.S.: bis jetzt habe ich hier des öfteren schonmal Fragen von mir durch andere gestellt und beantwortet gesehn...vielen Dank, dass es so eine Möglichkeit gibt...
P.P.S: mir ist grad leider zu spät aufgefallen, dass es im falschen Unterforum gelandet ist...ich wäre dankbar wenns nach Hochschule verschoben werden könnte -.- DANKE
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Hiho,
> Irgendwie ist auch der Beweis im Forster, der einzige, der
> so an die Sache heran geht. Bei den meisten anderen, die
> ich so gefunden habe, wird meist direkt das
> Ausgangsintervall in 2 Intervalle unterteilt und dann halt
> immer weiter das, welche die unendlich vielen Folgeglieder
> hat weiter ausgewählt etc pp.
genau das steht dort doch..... [mm] $2^{-k}$ [/mm] ist doch nichts anderes, als in jedem Schritt das Intervall zu halbieren.........
[mm] $2^{-0} [/mm] = 1$
[mm] $2^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
MFG,
Gono.
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ahja. manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. Vielen Dank!
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