Beweis Cauchy-Folge & GW < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine konvergente Folge von Zahlen [mm] a_{n}\in\IQ_{+} [/mm] mit Limes [mm] a\in\IQ_{+}. [/mm] Man zeige:
(a) Für beliebiges [mm] r\in\IZ [/mm] ist auch die Folge [mm] (a_{n}^{r})_{n\in\IN} [/mm] eine Cauchy-Folge mit [mm] $\lim_{n\to\infty}a_{n}^{r} [/mm] = [mm] a^{r}$. [/mm] |
Hallo!
Bei den obigen Aufgaben habe ich ein paar allgemeine Fragen und die Bitte, mein schon "Bewiesenes" auf Fehler zu überprüfen.
(a) --> Muss ich hier zwei was zeigen: (1) [mm] (a_{n}^{r})_{n\in\IN} [/mm] Cauchy-Folge und (2) [mm] \lim_{n\to\infty}a_{n}^{r} [/mm] = [mm] a_{r} [/mm] ? Also es geht mir insbesondere darum, ob ich das in zwei Teilbeweisen zeigen muss, denn bisher mache ich es so.
Dann nochwas: Die Aussage ist ja für [mm] r\in\IZ [/mm] zu beweisen. Im Moment mache ich aber Induktion über n. Kann ich da einen Trick anwenden, dass das ausreicht? Den Spezialfall r = 0 kann man ja schnell behandeln. Für r < 0 könnte ich ja definieren: r := -s, [mm] (s\in\IN) [/mm] und dann schreiben:
[mm] $(a_{n}^{r})_{n\in\IN} [/mm] = [mm] (a_{n}^{-s})_{n\in\IN} [/mm] = [mm] \left(\left(\frac{1}{a_{n}}\right)^{s}\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
Dies ist nach einem Satz aus der Vorlesung als Quotient der zwei Cauchy-Folgen (1 und [mm] a_{n}^{s} [/mm] ) wieder eine Cauchy-Folge. Könnte man das, nachdem man den ersten Induktionsbeweis geführt hat, so machen? Analoges mit den Grenzwertsätzen auch für Teil (2) ?
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Beweis:
(1) [mm] (a_{n}^{r})_{n\in\IN} [/mm] Cauchy-Folge: Induktion, IA klar. Schritt:
[mm] $\left|a_{n}^{r+1} - a_{m}^{r+1}\right| [/mm] = [mm] \left|a_{n}^{r+1} -a_{n}^{r}*a_{m} + a_{n}^{r}*a_{m}- a_{m}^{r+1}\right| \le |a_{n}^{r}|*\left|a_{n} -*a_{m}\right| [/mm] + [mm] |a_{m}|*\left|a_{n}^{r} - a_{m}^{r}\right|$.
[/mm]
Weil nach Induktionsvoraussetzung ist [mm] (a_{n}^{r})_{n\in\IN} [/mm] Cauchy-Folge, nach Induktionsanfang auch [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] Cauchy-Folge, gilt:
(1) [mm] (a_{n}^{r})_{n\in\IN}, (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] (Vorlesung) beschränkt, d.h. für alle [mm] n,m\in\IN [/mm] es existiert ein [mm] K\in\IN: |a_{n}^{r}| [/mm] < K und [mm] |a_{m}|
(2) [mm] $\forall \epsilon_{1} [/mm] > 0 [mm] \exists n_{\epsilon_{1}}\in\IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] m,n > [mm] n_{\epsilon_{1}}: |a_{n}-a_{m}| [/mm] < [mm] \epsilon_{1}$ [/mm] und [mm] $\forall \epsilon_{2} [/mm] > 0 [mm] \exists n_{\epsilon_{2}}\in\IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] m,n > [mm] n_{\epsilon_{2}}: |a_{n}-a_{m}| [/mm] < [mm] \epsilon_{2}$. [/mm] Wir definieren [mm] $\epsilon:= max\{\epsilon_{1},\epsilon_{2}\}$.
[/mm]
Also ist:
[mm] $|a_{n}^{r}|*\left|a_{n} -*a_{m}\right| [/mm] + [mm] |a_{m}|*\left|a_{n}^{r} - a_{m}^{r}\right| [/mm] < [mm] K*\epsilon [/mm] + [mm] K*\epsilon [/mm] = [mm] 2*K*\epsilon$.
[/mm]
Okay?
(2) Der Limes ist [mm] a^{r}: [/mm] Wieder Induktion, IA klar, Induktionsschritt:
[mm] $|a_{n}^{r+1}-a^{r+1}| [/mm] = [mm] |a_{n}^{r+1} [/mm] - [mm] a_{n}*a^{r} [/mm] + [mm] a_{n}*a^{r} [/mm] - [mm] a^{r+1}| \le |a_{n}|*|a_{n}^{r}-a^{r}| [/mm] + [mm] |a^{r}|*|a_{n}-a|$
[/mm]
Was mit ähnlichen Argumentationen wie oben wieder < [mm] 2*K*\epsilon [/mm] ist.
Wäre das so okay?
Grüße,
Stefan
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Hiho,
erstmal vorweg: Was ist bei euch [mm] \IQ_+ [/mm] ? Ist da die Null drin, oder nicht? Wenn ja, stimmt der Satz schonmal nicht..... aber das nur am Rande.
Letztlich brauchst du Cauchy gar nicht zu zeigen, wenn du zeigst, dass die Folge konvergiert, d.h. es reicht aus zu zeigen:
$ [mm] \lim_{n\to\infty}a_{n}^{r} [/mm] = [mm] a^{r} [/mm] $.
Denn: Jede konvergente Folge ist Cauchy-Folge.
Somit brauchst du deinen ersten Schritt schonmal nicht.
Weiterhin ist dein Ansatz ok, aber ihr hattet in der Vorlesung bestimmt so Sätze wie:
Sei [mm] a_n, b_n [/mm] konvergente Folgen mit Grenzwert a bzw b, dann konvergiert die Folge [mm] a_n*b_n [/mm] gegen $a*b$?
Dann ist die Aufgabe ein dreizeiler, indem du einfach für r>0 dein [mm] a_n^r [/mm] schreibst als
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\underbrace{a_n * a_n .... * a_n}_{r-mal} [/mm] = [mm] \underbrace{a*a....*a}_{r-mal} [/mm] = [mm] a^r$ [/mm] und r<0 so, wie du vorgeschlagen hast.
MFG,
Gono.
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Danke Gonozal_IX für deine Hilfe! [mm] \Q_{+} [/mm] sind bei uns alle positiven rationalen Zahlen ohne 0.
Habe es nun so gemacht wie von dir geraten, wir hatten die von dir angesprochenen Sätze 
Grüße,
Stefan
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