Beweis Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Folge
[mm] a_n=f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{1}{10^6}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
nicht konvergiert. |
Hallo,
also wir haben diesen Beweis in der Vorlesung gemacht, ich habe allerdings nicht alles verstanden, ich werde ihn mal wiedergeben und meine fragen stellen (in Rot).
Beweis:
Nehmen wir für einen Widerspruch an, dass $ [mm] a_n \to [/mm] a $ wenn [mm] n\to\infty [/mm] for [mm] a\in\IR.
[/mm]
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] so dass [mm] (a+\epsilon [/mm] , [mm] a-\epsilon) [/mm] nicht 0 und [mm] \bruch{1}{10^6} [/mm] enthält.
Wenn [mm] a\not=0, [/mm] dann sei [mm] \epsilon=\bruch{|a|}{2}, [/mm] folglich falls [mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] dann ist [mm] -\epsilon
Bis hierhin ist mir alles klar
(i) a>0 [mm] \Rightarrow 0<\bruch{a}{2}
(ii) a<0 [mm] \Rightarrow a_n<-\bruch{a}{2}<0
[/mm]
Diese beiden Ungleichungen sind mir unklar, wieso folgt dies aus den obigen Ungleichungen ?
Wenn [mm] a\not=0, [/mm] und $ [mm] a_n \to [/mm] a $ , dann [mm] \forall\epsilon>0 \exists N\in\IN [/mm] so dass $ n [mm] \ge [/mm] N $ [mm] \Rightarrow |a_n-a|<\epsilon
[/mm]
Definition der Konvergenz gegen einen Wert a.
Dies ist wahr für alle [mm] \epsilon=\bruch{|a|}{2} [/mm] also gilt für $ n [mm] \ge [/mm] N $ [mm] \Rightarrow a_n=0 [/mm] .
Wieso ?
Dies ist ein Widerspruch, da [mm] a_n=0 [/mm] für alle ungeraden $ n [mm] \ge [/mm] N $
Wenn a=0 dann sei [mm] \epsilon=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{10^6}.
[/mm]
$ n [mm] \ge [/mm] N $ [mm] \Rightarrow |a_n-a|<\epsilon \gdw |a_n|<\bruch{1}{2}*\bruch{1}{10^6}.
[/mm]
Es gilt aber für alle geraden $ n [mm] \ge [/mm] N $ dass [mm] a_n=\bruch{1}{10^6}>\bruch{1}{2}*\bruch{1}{10^6}
[/mm]
Dies ist ein Widerspruch.
Dies soll der Beweis mit konkreten Werten werden. Ich kann mir auch aufmalen, warum diese Reihe nicht konvergiert, aber ich verstehe de größten Teil des Beweises nicht...
Wäre super, wenn mir jemand hilft .
Lg,
exe
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Sonderbar, um nicht zu sagen absonderlich, was für
ein "Beweis" hier gezimmert wird für einen absolut
offensichtlichen Sachverhalt. Als Folge könnte man
ebensogut
(1,0,1,0,1,0, .....)
nehmen. Wäre die Folge konvergent mit einem
Grenzwert a, müssten auch die beiden Teilfolgen
der Glieder mit geraden bzw. ungeraden Indices
den gleichen Grenzwert a haben. Die beiden
Teilfolgen haben aber offensichtlich die verschie-
denen Grenzwerte 0 bzw. 1 (oder [mm] 10^{-6}).
[/mm]
LG Al-Chw.
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Hallo,
ja manchmal kommt es mir auch etwas "zusammengezimmert" vor...
Wie kann man es denn weniger zusammengezimmert und schöner beweisen ?
Vielleicht koenntest du mir das zeigen.
Danke,
exe
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Hallo exe,
> Wie kann man es denn weniger zusammengezimmert und schöner
> beweisen ?
> Vielleicht koenntest du mir das zeigen.
das hat er doch schon gemacht 
Wenn [mm] (a_{n}) [/mm] konvergent gegen Grenzwert a, dann konvergiert auch jede Teilfolge [mm] (a_{n_{k}}) [/mm] gegen a. Hier allerdings kannst du die Teilfolgen [mm] (a_{2n}) [/mm] und [mm] (a_{2n+1}) [/mm] von [mm] (a_{n}) [/mm] bestimmen, die nicht gegen a konvergieren, denn offensichtlich konvergiert die eine gegen 0 (weil alle Glieder 0 sind) und die andere konvergiert gegen [mm] 10^{-6}. [/mm] Widerspruch.
Anders aufgezogen: [mm] a_{n} [/mm] hat zwei Häufungspunkte (selbe Begründung wie oben), was ein Widerspruch zur Konvergenz ist.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Mo 04.01.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
ja das war mir klar. da wir aber weder teilfolgen noch häufungspunkte gemacht haben, dachte ich, dass es vielleicht eine möglichkeit gibt, die etwas strukturierter ist als meine, aber im "geiste" gleich bleibt :).
Der kurs den ich gerade hatte (im Herbst-trimester) nennt sich "foundations of analysis". und legt sozusagen den grundstein (zahlensysteme, komplexe zahlen, modulare arithmetik usw) für nachfolgende kurse, daher wurde konvergenz auch nicht soo ausführlich besprochen. Ich denke das kommt im Frühjahrs-trimester.
lg,
exe
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> Hallo,
>
> ja das war mir klar. da wir aber weder teilfolgen noch
> häufungspunkte gemacht haben, dachte ich, dass es
> vielleicht eine möglichkeit gibt, die etwas strukturierter
> ist als meine, aber im "geiste" gleich bleibt :).
>
> Der kurs den ich gerade hatte (im Herbst-trimester) nennt
> sich "foundations of analysis". und legt sozusagen den
> grundstein (zahlensysteme, komplexe zahlen, modulare
> arithmetik usw) für nachfolgende kurse, daher wurde
> konvergenz auch nicht soo ausführlich besprochen. Ich
> denke das kommt im Frühjahrs-trimester.
>
> lg,
>
> exe
Hallo exeqter,
wenn du ohne die Begriffe "Teilfolge" und "Häufungspunkt"
und nur mit der Epsilon-Definition des Grenzwerts auskom-
men willst bzw. musst, geht es z.B. auch so:
Für jede noch so kleine [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung des Grenzwerts a einer
konvergenten Folge muss es ein N geben, so dass [mm] a_n\in U_{\varepsilon}(a)
[/mm]
für alle n mit [mm] n\ge [/mm] N . Nun gibt es aber zu jeder Zahl [mm] n\in\IN
[/mm]
Zahlen g (gerade) und n (ungerade) mit g>N und u>N .
Nach der Definition der Folge wäre also [mm] a_g=0 [/mm] und [mm] a_u=10^{-6} [/mm] .
Diese beiden Zahlenwerte passen aber nicht in eine
[mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung irgendeiner reellen Zahl a,
falls [mm] \varepsilon<0.5*10^{-6} [/mm] . Also ist die [mm] \varepsilon [/mm] - Bedingung
(Existenz eines passenden N) für kein solches [mm] \varepsilon [/mm] erfüllbar.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:59 Mi 06.01.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
danke für die antwort. es hat mir sehr geholfen, es mal so ausgeschrieben zu sehen. auf diese art sind mir auch andere beweise leichter gefallen.
danke,
exe
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Hallo exe,
> Beweisen Sie, dass die Folge
>
> [mm]a_n=f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{1}{10^6}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> nicht konvergiert.
> Hallo,
>
> also wir haben diesen Beweis in der Vorlesung gemacht, ich
> habe allerdings nicht alles verstanden, ich werde ihn mal
> wiedergeben und meine fragen stellen (in Rot).
>
> Beweis:
>
> Nehmen wir für einen Widerspruch an, dass [mm]a_n \to a[/mm] wenn
> [mm]n\to\infty[/mm] for [mm]a\in\IR.[/mm]
>
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm] so dass [mm](a+\epsilon[/mm] , [mm]a-\epsilon)[/mm] nicht 0
> und [mm]\bruch{1}{10^6}[/mm] enthält.
>
> Wenn [mm]a\not=0,[/mm] dann sei [mm]\epsilon=\bruch{|a|}{2},[/mm] folglich
> falls [mm]|a_n-a|<\epsilon[/mm] dann ist [mm]-\epsilon
>
> Bis hierhin ist mir alles klar
>
> (i) a>0 [mm]\Rightarrow 0<\bruch{a}{2}
>
> (ii) a<0 [mm]\Rightarrow a_n<-\bruch{a}{2}<0[/mm]
>
> Diese beiden Ungleichungen sind mir unklar, wieso folgt
> dies aus den obigen Ungleichungen ?
Setze einfach in die letzte Ungleichung ein: Für a > 0 ist |a|/2 = a/2. Dann steht da
$ [mm] a-\bruch{|a|}{2}
[mm] $\Rightarrow a/2
Und da a > 0 ist, natürlich auch a/2 > 0, das heißt du kannst die Ungleichung ergänzen zu:
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0 [mm]
Die rechte Seite ist für den folgenden Beweis nicht mehr wichtig, deswegen wurde sie weggelassen.
Für a < 0 ist das dann ähnlich, dann gilt |a|/2 = -a/2:
$ [mm] a-\bruch{|a|}{2}
$ [mm] \Rightarrow 3a/2
also wegen a < 0 auch:
$ [mm] \Rightarrow 3a/2
Und hier steckt ein kleiner Fehler oben in deinen Aufzeichungen: Es gilt nicht [mm] a_{n} [/mm] < -a/2 < 0, weil -a/2 > 0 wenn a < 0.
> Wenn [mm]a\not=0,[/mm] und [mm]a_n \to a[/mm] , dann [mm]\forall\epsilon>0 \exists N\in\IN[/mm]
> so dass [mm]n \ge N[/mm] [mm]\Rightarrow |a_n-a|<\epsilon[/mm]
>
> Definition der Konvergenz gegen einen Wert a.
Genau.
> Dies ist wahr für alle [mm]\epsilon=\bruch{|a|}{2}[/mm] also gilt
> für [mm]n \ge N[/mm] [mm]\Rightarrow a_n=0[/mm] .
>
> Wieso ?
>
> Dies ist ein Widerspruch, da [mm]a_n=0[/mm] für alle ungeraden [mm]n \ge N[/mm]
Ehrlich gesagt verstehe ich die letzten beiden Zeilen auch nicht so genau. So, wie es dasteht, ist es unlogisch. Es wäre logischer, wenn da stände:
Dies ist wahr für alle [mm]\epsilon=\bruch{|a|}{2}[/mm] also gilt
> für [mm]n \ge N[/mm] [mm]\Rightarrow a_n\red{\not=}0[/mm] .
Das stimmt nämlich. Ähnlich wie bei dem unteren Beweis willst du einfach klarstellen: Wenn ich irgendein a als Grenzwert wählen würde, könnte ich ein [mm] \varepsilon [/mm] finden, nämlich [mm] \varepsilon [/mm] = |a|/2, sodass die Folgenglieder mit [mm] a_{n} [/mm] = 0 nicht mehr in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von a liegen, was natürlich schlecht für die Konvergenz gegen a ist, weil es unendlich viele Folgenglieder sind.
Ehrlich gesagt weiß ich nicht genau, wozu die Umformungen oben konkret durchgeführt werden. Denn wenn du dir die Konvergenzdefinition hernimmst, siehst du, dass
[mm] |a_{n}-a|<|a|/2
[/mm]
sofort impliziert, dass [mm] a_{n} [/mm] nicht 0 sein darf, weil dann |a|<|a|/2 wäre, was für [mm] a\not= [/mm] 0 natürlich nicht erfüllbar ist.
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> Wenn a=0 dann sei [mm]\epsilon=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{10^6}.[/mm]
> [mm]n \ge N[/mm] [mm]\Rightarrow |a_n-a|<\epsilon \gdw |a_n|<\bruch{1}{2}*\bruch{1}{10^6}.[/mm]
>
> Es gilt aber für alle geraden [mm]n \ge N[/mm] dass
> [mm]a_n=\bruch{1}{10^6}>\bruch{1}{2}*\bruch{1}{10^6}[/mm]
>
> Dies ist ein Widerspruch.
>
> Dies soll der Beweis mit konkreten Werten werden. Ich kann
> mir auch aufmalen, warum diese Reihe nicht konvergiert,
> aber ich verstehe de größten Teil des Beweises nicht...
Der zweite Teil des Beweises hat nichts mit konkreten Werten zu tun, sondern mit dem Fall a = 0, der durch den obigen Beweis nicht abgedeckt wird [mm] (\varepsilon [/mm] = |a|/2 = 0 zu wählen ist ja verboten). Hier wird einfach konkret festgehalten, dass man dann einfach ein [mm] \varepsilon [/mm] findet, sodass die ganzen [mm] 1/10^{6} [/mm] - Folgenglieder nicht mehr in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von a = 0 sind, was natürlich schlecht für die Konvergenz ist, weil es ja unendlich viele davon gibt.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Mo 04.01.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hallo steppenhahn,
danake für deine antwort. Den Fehler den du gefunden hast, werde ich oben korrigieren, ich habe es tatsächlich falsch aus meinen aufzeichnungen aufgeschrieben.
Ich gehe in Ruhe durch deine Antwort durch und melde mich dann nochmal.
Vielen Dank.
exe
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