Beweis Durch Vollständige Induktion !!! < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 23:50 Do 02.09.2004 | | Autor: | Scatman |
Hi,
bräuchte Hilfe bei obengenanntem Thema.
Habe zwar schon einige wenige Aufgaben gelöst, denoch komme ich mit dem Lösungsweg und vor allem beim Induktionsschluss immer sehr durcheinander.
Wäre nett, wenn ihr mir bei den unten stehenden Aufgaben helfen könntet, dann wird es mir bestimmt wesentlich leichter fallen, dass Thema besser zu verstehen.
Danke
1.) 1/1*3 + 1/3*5 + 1/5*7+...+ 1/(2n-1)(2n+1)=n/(2n+1)
2.) [mm] 1/2^{1} [/mm] + [mm] 1/2^{2} [/mm] + [mm] 1/2^{3}+...+1/2^{n} [/mm] = [mm] 2-1/2^{n} [/mm]
3.) 1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1) = 1/3 n*(n+1)*(n+2)+5
Das sind die 3 Aufgaben.
Freue mich sehr über jede Antwort!!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Emily |
> Hi,
> bräuchte Hilfe bei obengenanntem Thema.
> Habe zwar schon einige wenige Aufgaben gelöst, denoch komme
> ich mit dem Lösungsweg und vor allem beim Induktionsschluss
> immer sehr durcheinander.
> Wäre nett, wenn ihr mir bei den unten stehenden Aufgaben
> helfen könntet, dann wird es mir bestimmt wesentlich
> leichter fallen, dass Thema besser zu verstehen.
> Danke
>
> 1.) 1/1*3 + 1/3*5 + 1/5*7+...+ 1/(2n-1)(2n+1)=n/(2n+1)
Hallo,
Induktionsanfang:
$n=1: [mm] \bruch{2-1}{2+1}= \bruch{1}{2+1}= \bruch{1}{3}$
[/mm]
Induktionsvoraussetzung:
[mm] $s_n=a_1+a_2+a_3+.........+a_n=\bruch{1}{3}+\bruch{1}{15}+\bruch{1}{35}+....+\bruch{1}{(2n-1)*(2n+1)}= \bruch{n}{(2n+1)}$
[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm] $s_{n+1}=a_1+a_2+a_3+.........+a_n+a_{n+1}=\bruch{1}{3}+\bruch{1}{15}+\bruch{1}{35}+....+\bruch{1}{(2n-1)*(2n+1}+\bruch{1}{(2n+1)*(2n+3)}= \bruch{n+1}{(2n+3)}$
[/mm]
Induktionsbeweis:
[mm] $s_{n+1}=s_n+a_{n+1}=\bruch{n}{(2n+1)}+\bruch{1}{(2n+1)*(2n+3)}=\bruch{n*(2n+3)}{(2n+1)*(2n+3)}+\bruch{1}{(2n+1)*(2n+3)}= \bruch{2n^2+3n+1}{(2n+1)*(2n+3)}= \bruch{(2n+1)*(n+1)}{(2n+1)*(2n+3)}= \bruch{n+1}{(2n+3)}$
[/mm]
Jetzt bist du an der Reihe.
Gruß Emily
> 2.) [mm]1/2^{1}[/mm] + [mm]1/2^{2}[/mm] + [mm]1/2^{3}+...+1/2^{n}[/mm] = [mm]2-1/2^{n}[/mm]
>
>
> 3.) 1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1) = 1/3 n*(n+1)*(n+2)+5
>
> Das sind die 3 Aufgaben.
> Freue mich sehr über jede Antwort!!
>
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:41 Sa 04.09.2004 | | Autor: | Scatman |
hi,
sorry, habe vergessen zu erwähnen, dass bei Aufgabe 2+3 die aufgabenstellung lautet: beweise, dass die formel nicht (!) gilt, der induktionsschluss dennoch durchführbar ist.
aber die bisherige antwort hilft mir schon mal... danke
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:46 Sa 04.09.2004 | | Autor: | Scatman |
@ emily...
hi, danke für die schnelle antwort.
hast du irgendwie tipps, wie man diese umformung vernünftig hinbekommt. bis zum aufstellen der induktionsbehauptung klappt alles, aber die schritte bzw. umformung beim induktionsschluss bekomme ich nie hin und es dauer ewigkeiten auf den richtigen weg zu kommen....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:04 Sa 04.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Scatman!
Bleiben wir doch mal in Emilys Beispiel:
Zunächst schreiben wir uns hin, was wir zeigen wollen:
[mm] $s_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{n+1}{2n+3}$.
[/mm]
Dann schauen wir, wie wir die Induktionsvoraussetzung unterbringen können, also eine Aussage über [mm] $s_n$. [/mm] In welcher Beziehung steht das "Gesuchte" [mm] ($s_{n+1}$) [/mm] zu dem "Bekannten" [mm] ($s_n$)?
[/mm]
Nun ja, [mm] $s_n$ [/mm] ist ein Teil der Summe [mm] $s_{n+1}$, [/mm] genauer:
[mm] $s_{n+1} [/mm] = [mm] s_n [/mm] + [mm] a_{n+1}$.
[/mm]
(Denn: [mm] $s_{n+1} [/mm] = [mm] \red{a_1 + \ldots + a_n} [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \red{s_n} [/mm] + [mm] a_{n+1}$.)
[/mm]
So, jetzt können wir die Induktionsvoraussetzung einsetzen (für [mm] $s_n$):
[/mm]
[mm] $s_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{n}{2n+1} [/mm] + [mm] a_{n+1}$.
[/mm]
Nun setzen wir noch [mm] $a_{n+1}$ [/mm] ein:
[mm] $s_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{n}{2n+1} [/mm] + [mm] \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$.
[/mm]
Das ist [mm] $s_{n+1}$. [/mm] Und was soll [mm] $s_{n+1}$ [/mm] sein, in unserem Induktionsschritt? Gerade: [mm] $\frac{n+1}{2n+3}$.
[/mm]
Also müssen wir, summa summarum
[mm] $\frac{n+1}{2n+3} [/mm] = [mm] \frac{n}{2n+1} [/mm] + [mm] \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
zeigen.
Dazu formen wir die rechte Seite (die "kompliziertere") so lange um, bis die linke Seite (die "einfachere") da steht. Klar ist: Wir haben rechts eine Summe von Bruchtermen, und links steht auch ein Bruchterm. Daher müssen wir die beiden Brüche tatsächlich addieren und sie dafür erst einmal auf den gleichen Nenner bringen, sonst wird es uns schwerfallen die Gleichheit der beiden Seiten zu zeigen. Machen wir das also:
Es gilt:
[mm] $\frac{n}{2n+1} [/mm] + [mm] \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} [/mm] + [mm] \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
$= [mm] \frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
So, ab jetzt beten wir, dass alles hinkommt. ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") Wichtig, sonst klappt es nicht! 
Der Bruch, der rauskommen soll, darf im Nenner nur $2n+3$ enthalten. Wir müssen also $2n+1$ kürzen. Also muss im Zähler auch $2n+1$ stehen, als Faktor. Idee: Wir versuchen im Nenner zu faktorisieren, so dass einer der beiden Faktoren gerade $2n+1$ ist. Genial, oder? Nö, eigentlich gar nicht, sondern eigentlich völlig naheliegend.
Also, probieren wir es:
[mm] $(2n^2+3n+1) [/mm] = (2n+1) [mm] \cdot [/mm] [irgendetwas]$.
Das $[irgendetwas]$ können wir entweder sofort -mit einem scharfen Blick-erspähen (aber das sagt sich immer leicht, vor allem, wenn man so kurzsichtig ist wie ich...), mit Polynomdivision ermitteln oder aber an dem, was wir zeigen wollen, ablesen (und dann hoffen, dass es auch wirklich stimmt ).
Es soll ja da $n+1$ stehen. Und, in der Tat:
$(2n+1) [mm] \cdot [/mm] (n+1) = [mm] 2n^2 [/mm] + 2n + n + 1 = [mm] 2n^2 [/mm] + 3n + 1$.
Damit haben wir jetzt insgesamt:
[mm] $s_{n+1}$
[/mm]
$= [mm] s_n [/mm] + [mm] a_{n+1}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n}{2n+1} [/mm] + [mm] \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} [/mm] + [mm] \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
$= [mm] \frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
$= [mm] \frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n+1}{2n+3}$,
[/mm]
was zu zeigen war. Strike! ![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]")
Alles klar? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:06 Sa 04.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Scatman!
Bleiben wir doch mal in Emilys Beispiel:
Zunächst schreiben wir uns hin, was wir zeigen wollen:
$s_{n+1} = \frac{n+1}{2n+3}$.
Dann schauen wir, wie wir die Induktionsvoraussetzung unterbringen können, also eine Aussage über $s_n$. In welcher Beziehung steht das "Gesuchte" ($s_{n+1}$) zu dem "Bekannten" ($s_n$)?
Nun ja, $s_n$ ist ein Teil der Summe $s_{n+1}$, genauer:
$s_{n+1} = s_n + a_{n+1}$.
(Denn: $s_{n+1} = \red{a_1 + \ldots + a_n} + a_{n+1} = \red{s_n} + a_{n+1}$.)
So, jetzt können wir die Induktionsvoraussetzung einsetzen (für $s_n$):
$s_{n+1} = \frac{n}{2n+1} + a_{n+1}$.
Nun setzen wir noch $a_{n+1}$ ein:
$s_{n+1} = \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$.
Das ist $s_{n+1}$. Und was [b}soll[/b] $s_{n+1}$ sein, in unserem Induktionsschritt? Gerade: $\frac{n+1}{2n+3}$.
Also müssen wir, summa summarum
$\frac{n+1}{2n+3} = \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
zeigen.
Dazu formen wir die rechte Seite (die "kompliziertere") so lange um, bis die linke Seite (die "einfachere") da steht. Klar ist: Wir haben rechts eine Summe von Bruchtermen, und links steht auch ein Bruchterm. Daher müssen wir die beiden Brüche tatsächlich addieren und sie dafür erst einmal auf den gleichen Nenner bringen, sonst wird es uns schwerfallen die Gleichheit der beiden Seiten zu zeigen. Machen wir das also:
Es gilt:
$\frac{n}{2n+1} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
$= \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
$= \frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}$
So, ab jetzt beten wir, dass alles hinkommt. Wichtig, sonst klappt es nicht!
Der Bruch, der rauskommen soll, darf im Nenner nur $2n+3$ enthalten. Wir müssen also $2n+1$ kürzen. Also muss im Zähler auch $2n+1$ stehen, als Faktor. Idee: Wir versuchen im Nenner zu faktorisieren, so dass einer der beiden Faktoren gerade $2n+1$ ist. Genial, oder? Nö, eigentlich gar nicht, sondern eigentlich völlig naheliegend.
Also, probieren wir es:
$(2n^2+3n+1) = (2n+1) \cdot [irgendetwas]$.
Das $[irgendetwas]$ können wir entweder sofort -mit einem scharfen Blick-erspähen (aber das sagt sich immer leicht, vor allem, wenn man so kurzsichtig ist wie ich...), mit Polynomdivision ermitteln oder aber an dem, was wir zeigen wollen, ablesen (und dann hoffen, dass es auch wirklich stimmt ).
Es soll ja da $n+1$ stehen. Und, in der Tat:
$(2n+1) \cdot (n+1) = 2n^2 + 2n + n + 1 = 2n^2 + 3n + 1$.
Damit haben wir jetzt insgesamt:
$s_{n+1}$
$= s_n + a_{n+1}$
$= \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
$= \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
$= \frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}$
$= \frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)}$
$= \frac{n+1}{2n+3}$,
was zu zeigen war. Strike!
Alles klar?
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:06 Sa 04.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Scatman!
Bleiben wir doch mal in Emilys Beispiel:
Zunächst schreiben wir uns hin, was wir zeigen wollen:
[mm] $s_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{n+1}{2n+3}$.
[/mm]
Dann schauen wir, wie wir die Induktionsvoraussetzung unterbringen können, also eine Aussage über [mm] $s_n$. [/mm] In welcher Beziehung steht das "Gesuchte" [mm] ($s_{n+1}$) [/mm] zu dem "Bekannten" [mm] ($s_n$)?
[/mm]
Nun ja, [mm] $s_n$ [/mm] ist ein Teil der Summe [mm] $s_{n+1}$, [/mm] genauer:
[mm] $s_{n+1} [/mm] = [mm] s_n [/mm] + [mm] a_{n+1}$.
[/mm]
(Denn: [mm] $s_{n+1} [/mm] = [mm] \red{a_1 + \ldots + a_n} [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \red{s_n} [/mm] + [mm] a_{n+1}$.)
[/mm]
So, jetzt können wir die Induktionsvoraussetzung einsetzen (für [mm] $s_n$):
[/mm]
[mm] $s_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{n}{2n+1} [/mm] + [mm] a_{n+1}$.
[/mm]
Nun setzen wir noch [mm] $a_{n+1}$ [/mm] ein:
[mm] $s_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{n}{2n+1} [/mm] + [mm] \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$.
[/mm]
Das ist [mm] $s_{n+1}$. [/mm] Und was soll [mm] $s_{n+1}$ [/mm] sein, in unserem Induktionsschritt? Gerade: [mm] $\frac{n+1}{2n+3}$.
[/mm]
Also müssen wir, summa summarum
[mm] $\frac{n+1}{2n+3} [/mm] = [mm] \frac{n}{2n+1} [/mm] + [mm] \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
zeigen.
Dazu formen wir die rechte Seite (die "kompliziertere") so lange um, bis die linke Seite (die "einfachere") da steht. Klar ist: Wir haben rechts eine Summe von Bruchtermen, und links steht auch ein Bruchterm. Daher müssen wir die beiden Brüche tatsächlich addieren und sie dafür erst einmal auf den gleichen Nenner bringen, sonst wird es uns schwerfallen die Gleichheit der beiden Seiten zu zeigen. Machen wir das also:
Es gilt:
[mm] $\frac{n}{2n+1} [/mm] + [mm] \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} [/mm] + [mm] \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
$= [mm] \frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
So, ab jetzt beten wir, dass alles hinkommt. Wichtig, sonst klappt es nicht!
Der Bruch, der rauskommen soll, darf im Nenner nur $2n+3$ enthalten. Wir müssen also $2n+1$ kürzen. Also muss im Zähler auch $2n+1$ stehen, als Faktor. Idee: Wir versuchen im Nenner zu faktorisieren, so dass einer der beiden Faktoren gerade $2n+1$ ist. Genial, oder? Nö, eigentlich gar nicht, sondern eigentlich völlig naheliegend.
Also, probieren wir es:
[mm] $(2n^2+3n+1) [/mm] = (2n+1) [mm] \cdot [/mm] [irgendetwas]$.
Das $[irgendetwas]$ können wir entweder sofort -mit einem scharfen Blick-erspähen (aber das sagt sich immer leicht, vor allem, wenn man so kurzsichtig ist wie ich...), mit Polynomdivision ermitteln oder aber an dem, was wir zeigen wollen, ablesen (und dann hoffen, dass es auch wirklich stimmt ).
Es soll ja da $n+1$ stehen. Und, in der Tat:
$(2n+1) [mm] \cdot [/mm] (n+1) = [mm] 2n^2 [/mm] + 2n + n + 1 = [mm] 2n^2 [/mm] + 3n + 1$.
Damit haben wir jetzt insgesamt:
[mm] $s_{n+1}$
[/mm]
$= [mm] s_n [/mm] + [mm] a_{n+1}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n}{2n+1} [/mm] + [mm] \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} [/mm] + [mm] \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
$= [mm] \frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
$= [mm] \frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n+1}{2n+3}$,
[/mm]
was zu zeigen war. Strike!
Alles klar?
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Scatman!
Ich werde dir nicht die vollständige Induktion zeigen, sondern die Herleitung solcher Summen.
Der ganze Trick bei der Sache ist folgender:
[mm]\summe_{i=a}^{n}(f(i+1)-f(i))=f(n+1)-f(a)[/mm]
Also, wo i+1 vorkommt, ersetzen wir i durch die letzte Zahl, und dort wo i vorkomt, ersetzen wir i durch die erste Zahl.
Anstatt diese einfache formel durch vollständige Induktion zu Beweisen, werde ich es lieber erklären. Und zwar, wenn man die Summe ausschreibt, erhält man:
[mm]f(a+1)-f(a) +[/mm]
[mm]f(a+2)-f(a+1)+[/mm]
[mm]f(a+3)-f(a+2)+[/mm]
[mm]\vdots[/mm]
[mm]f(n) -f(n-1)+[/mm]
[mm]f(n+1)-f(n) =[/mm]
--------------------------
[mm]f(n+1)-f(a)[/mm]
Also unser ganzes Bestreben liegt darin, das allgemeine Summenglied in eine Differenz von einer Funkton von i+1 und dieselbe Funktion von i zu zerlegen.
Nehmen wir zum Beispiel deine zweite Aufgabe:
[mm]S=\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{2^{i}}[/mm]
Wir haben:
[mm]\bruch{1}{2^{i}}=\bruch{2-1}{2^{i}}=\bruch{2}{2^{i}}-\bruch{1}{2^{i}}=\bruch{1}{2^{i-1}}-\bruch{1}{2^{i}}[/mm]
Wir können ablesen:
[mm]S=2-\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
Schöne Grüße,
Ladis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Fr 03.09.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
wahrscheinlich sind folgendes nur kleine Abtippfehler, aber falls doch nicht, hier zwei Anmerkungen.
> 2.) [mm]1/2^{1}[/mm] + [mm]1/2^{2}[/mm] + [mm]1/2^{3}+...+1/2^{n}[/mm] = [mm]2-1/2^{n}[/mm]
Das sollte wohl [mm]\frac{2^n-1}{2^n}[/mm] lauten.
> 3.) 1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1) = 1/3 n*(n+1)*(n+2)+5
[mm]+5[/mm] muss weg.
Viele Gruesse,
Michael
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:36 Sa 04.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Überraschung:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik-forum.de/forum/showthread.php?postid=234256#post234256
An die an dieser Diskussion Beteiligten: Ab Sonntag treten die neuen, verschärften Posting-Regeln in Kraft, sie lagen bis zur nächsten Mißachtung unserer Forenregeln --die Scatman nun verursacht hat-- in meiner Schublade. Die auf die Frage gegebenen Antworten sind versteckt (damit hat sich Scatman einverstanden erklärt), werden aber nach geraumer Zeit wieder sichtbar gemacht.
Viele Grüße,
Marc
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