Beweis Eigenvektoren lin.unabh < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:38 Sa 27.12.2008 | | Autor: | excillo |
| Aufgabe | | Seien [mm] \alpha, \beta [/mm] zwei verschiedene Eigenwerte der linearen Abbildung T: U [mm] \to [/mm] U mit den zugehörigen Eigenvektoren u1 und u2. Zeigen sie, dass u1 und u2 linear unabhängig sind. |
Also ich habe mal ein bisschen rumprobiert, aber ich bin mir nicht sicher ob man das so stehen lassen könnte, daher hoffe ich dass ihr mir ein bisschen Hilfestellung geben könnt bzw mal einen Asatz liefern könnt, denn in meinem Vorlesungsskriot befindet sich der Beweis mittels vollständiger Induktion und das erscheint mir etwas zu kompliziert für diesen Fall-...?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Seien [mm]\alpha, \beta[/mm] zwei verschiedene Eigenwerte der
> linearen Abbildung T: U [mm]\to[/mm] U mit den zugehörigen
> Eigenvektoren u1 und u2. Zeigen sie, dass u1 und u2 linear
> unabhängig sind.
> Also ich habe mal ein bisschen rumprobiert, aber ich bin
> mir nicht sicher ob man das so stehen lassen könnte,
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Hier im Forum interessieren wir uns brennend für das, was Du rumprobiert hast.
Nicht zuletzt sehen wir daran, wo wir helfen können.
Also zeig' mal, wie weit Du gekommen bist. Du darfst ruhig Fehler machen - das Schlimmste, was passiert, ist ein "um Himmelswillen!" an den Tagen, an welchem einem willigen Helfer die Gelassenheit fehlt. (Das ist natürlich nur selten der Fall.)
Gruß v. Angela
daher
> hoffe ich dass ihr mir ein bisschen Hilfestellung geben
> könnt bzw mal einen Asatz liefern könnt, denn in meinem
> Vorlesungsskriot befindet sich der Beweis mittels
> vollständiger Induktion und das erscheint mir etwas zu
> kompliziert für diesen Fall-...?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Sa 27.12.2008 | | Autor: | excillo |
Also A steht dann jetzt für eine bel.Matrix, sodass für die Eigenvektoren gilt: [mm] (A-\alpha) [/mm] * u1 = 0(vektor) bzw [mm] (A-\beta) [/mm] *u2 = 0
Ich habe dann einfach mal angenommen es sei [mm] \gamma1 [/mm] *u1 + [mm] \gamma [/mm] 2 *u2 =0
[mm] (A-\alpha)*(\gamma1*u1+\gamma2*u2)
[/mm]
= [mm] \gamma1 [/mm] * [mm] (A-\alpha)*u1 [/mm] + [mm] \gamma2*(A-\alpha)*u2=...
[/mm]
das hab ich dann solange umgeformt bis da stand
[mm] \gamma2 *(\beta [/mm] - [mm] \alpha)* [/mm] u2 = 0
und aus der annahme folgt dann [mm] \gamma2 *(\alpha [/mm] - [mm] \beta) [/mm] * u1 = 0 und damit [mm] \gamma2 [/mm] =0
und daraus [mm] \gamma1 [/mm] gleich null
Hoffe ihr könnt mir sagen ob wenigstens der Ansatz richtig ist...
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> Also A steht dann jetzt für eine bel.Matrix, sodass für die
> Eigenvektoren gilt: [mm](A-\alpha\red{E})[/mm] * u1 = 0(vektor) bzw
> [mm](A-\beta\red{E})[/mm] *u2 = 0
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> Ich habe dann einfach mal angenommen es sei [mm]\gamma1[/mm] *u1 +
> [mm]\gamma[/mm] 2 *u2 =0
> [mm](A-\alpha\red{E})*(\gamma1*u1+\gamma2*u2)[/mm]
> = [mm]\gamma1[/mm] * [mm](A-\alpha\red{E})*u1[/mm] + [mm]\gamma2*(A-\alpha\red{E})*u2=...[/mm]
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> das hab ich dann solange umgeformt bis da stand
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> [mm]\gamma2 *(\beta[/mm] - [mm]\alpha)*[/mm] u2 = 0
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> und aus der annahme folgt dann [mm]\gamma2 *(\alpha[/mm] - [mm]\beta)[/mm] *
> u1 = 0 und damit [mm]\gamma2[/mm] =0
> und daraus [mm]\gamma1[/mm] gleich null
Hallo,
ja, so kannst Du es machen, es ist völlig richtig. Du mußt dann am Ende verwenden (und erwähnen!), daß die [mm] u_i\not=0, [/mm] und daß nach Voraussetzung [mm] \alpha\not=\beta.
[/mm]
Gruß v. Angela
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