Beweis Extrema < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seinen I= [a,b) [mm] \subset \IR \cup \infty [/mm] f: I-->R differenzierbar und [mm] \limes_{x\rightarrow b} [/mm] f(x) existiere. Setze K:= {x [mm] \in [/mm] I: f'(x) = 0} [mm] \cup [/mm] {a}. Zeigen Sie
a) f hat ein globales Maximum [mm] \gdw \exists x_{0} \in [/mm] I mit [mm] \limes_{x\rightarrow b} [/mm] f(x) [mm] \le f(x_{0}).
[/mm]
b) f hat ein globales Minimum [mm] \gdw \exists x_{0} \in [/mm] I mit [mm] \limes_{x\rightarrow b} [/mm] f(x) [mm] \re f(x_{0}).
[/mm]
c) Alle globalen Extrema liegen in K |
Guten Tach.
Also irgendwie finde ich den Beweis komisch.
Also Beweise jeweils in zwei Richtungen
[mm] \Rightarrow [/mm] ist bei a und b trivial. Da f ein Globales Maximum hat, gibt es [mm] x_{0} [/mm] mit [mm] f(x_{0}) \le [/mm] (bzw [mm] \re) [/mm] als [mm] \limes \limes_{x\rightarrow b} [/mm] f(x)
[mm] \Leftarrow [/mm] a)
Fall 1 f ist monoton steigend. Dann gibt es aber kein [mm] x_{0} [/mm] welches die Ungleichung erfüllt, da alle [mm] x_{0} [/mm] kleiner sind als [mm] \limes_{x\rightarrow b} [/mm] f(x). Sie nähern sich diesem Grenzwert ja nur an, erreichen Ihn aber nicht(oder bin ich da ganz falsch)
Fall 2. f ist monoton fallend. Dann erfüllen alle x die Ungleichung und das Maximum liegt bei a.
Fall 3. f ist alternierend. Da es [mm] x_{0} [/mm] geben soll für die die ungleichung gilt
gibt es im Intervall Extremas. Wähle dann einfach das Maximum dieser Extremas und f besitzt dann ein globales Extrema.
b ist ähnlich.
Und alle diese Extrema liegen in K da ja die notwendige bedingung für ein Extremum ist, dass f'(x) =0 ist. {a} muss dabei sein, weil es in auch dann extrema geben kann, wenn f'(x) [mm] \not= [/mm] 0.
Ist das so korrekt oder stehe ich auf dem völlig falschen Fuß
Danke für die Antwort
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Fr 12.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
