Beweis: Extrema < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Ich habe eine Frage zu einer Beweisführung. Der Vollständigkeit halber folgt der komplette Beweis bis zur unklaren Stelle |
Die Funktion f:I -> [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] sei n-mal (n größergleich 2) stetig differenzierbar auf einem offenen Intervall I.
Sei f'(a) = f''(a) = ... = [mm] $f^{n-1}(a) [/mm] = 0$ und [mm] $f^n [/mm] (a) [mm] \not [/mm] = 0$.
Ist n ungerade, so besitzt f in a kein lokales Extremum.
Ist n gerade, so hat f für [mm] $f^n(a) [/mm] > 0$ in a ein lokales Minimum, für [mm] $f^n(a) [/mm] < 0$ in a ein lokales Maximum.
BEWEIS
Sei $ [mm] f^n(a) [/mm] > 0$. Wegen der Stetigkeit von [mm] $f^n$ [/mm] gilt:
[mm] $\exists [/mm] r > 0$ sodass $(a-r, a+r) [mm] \subseteq [/mm] I$ und [mm] $f^n(x) [/mm] > 0$ für $|x-a| < r$.
Für $ h [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] mit $ 0 < |h| < r$ gilt nach der Taylorformel:
$f(a+h) = f(a) + [mm] \frac{f'(a)}{1!}h [/mm] + ... + [mm] \frac{f^{n-1}(a)}{(n-1)!}h^{n-1} [/mm] + [mm] \frac{f^n (a + vh)}{n!}h^n$
[/mm]
Es folgt:
$f(a+h) - f(a) = [mm] \frac{f^n (a + vh)}{n!}h^n$ [/mm] (da nach Voraussetzung gewisse Ableitungen in a gleich Null sind) [ mit 0 < v < 1 ]
Für gerades n folgt: $f(a+h) - f(a) > 0 [mm] \implies [/mm] f(a+h) > f(a)$
____________________
Es geht mir um den letzten Schritt. Hier soll noch gezeigt werden, warum das so ist.
Warum darf ich davon ausgehen, dass [mm] $\frac{f^n (a + vh)}{n!}h^n$ [/mm] für gerades n größer Null ist? Was weiß ich denn von [mm] $f^n(a [/mm] + vh)$ ?
|
|
| |
|
Hiho,
der Beweis beginnt doch mit:
> Sei [mm]f^n(a) > 0[/mm]. Wegen der Stetigkeit von [mm]f^n[/mm] gilt:
> [mm]\exists r > 0[/mm] sodass [mm](a-r, a+r) \subseteq I[/mm] und [mm]f^n(x) > 0[/mm] für [mm]|x-a| < r[/mm].
> Was weiß ich denn von [mm]f^n(a + vh)[/mm] ?
Für ausreichend kleine h liegt a+vh doch sehr nah an a und dann verwende obiges.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Wenn das so in Ordnung ist werde ich das gerne tun :)
Danke!
|
|
|
|
