Beweis Fixpunkt < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen sie allgemein: Ist f eine affine Abbildung, die einen Punkt A auf einen Punkt B und B auf A abbildet, dann ist der Mittelpunkt der Strecke AB ein Fixpunkt von f! |
Das war eine unserer letzten Klausuraufgaben... rein logisch (mit Zeichnung und so...) konnte ich das begründen, aber der mathematische Beweis fehlt mir... mein Ansatz war:
[mm] Matrix*(\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{2})+\vec{c}=(\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{2})
[/mm]
Aber irgendwie haut das nicht so ganz hin... hat jemand von euch ne Idee für die Berichtigung?
Vielen Dank schonmal!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Do 04.12.2008 | | Autor: | fred97 |
F ist affin, also hat f die Form f(X) = C+g(X), wobei g linear ist.
Nach Vor. ist B = f(A) = C +g(A) und A = f(B) = C +g(B), also
g(A) = B-C und g(B) = A-C.
Sei $M = 1/2(A+B)$ (Mittelpunkt der Strecke)
Dann $f(M) = C+g(1/2(A+B)) = C + 1/2(g(A)+g(B)) = C +1/2(A+B-2C) = M$
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Do 04.12.2008 | | Autor: | Sonata1991 |
Danke 
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