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| Aufgabe | Sei $P(z) = [mm] \sum_{k=0}^{n}a_{k}*z^{k}$ [/mm] ein Polynom vom echten Grad n > 0. Nach einer vorherigen Aufgabe gilt dann: Es ex. ein L > 0 so, dass für alle $|x| [mm] \ge [/mm] L$ gilt: [mm] $\frac{1}{2}*|a_{n}*z^{n}| \le [/mm] |P(z)| [mm] \le 2*|a_{n}*z^{n}|$.
[/mm]
1. Benutzen Sie dies, um zu zeigen, dass [mm] P(\IC) [/mm] eine abgeschlossene Teilmenge von [mm] \IC [/mm] ist.
2. Folgern Sie dann mit dem Satz von der Gebietstreue, dass P auf [mm] \IC [/mm] den Wert 0 annimmt. |
Hallo!
Ich habe bereits Probleme bei 1., bzw. ich denke es ist zu kompliziert:
Sei [mm] $y_{i}\in P(\IC)$ [/mm] mit [mm] $y_{i}\to y_{0}\in\IC$. [/mm] Zu zeigen: [mm] $y_{0}\in P(\IC)$.
[/mm]
Da [mm] (y_{i}) [/mm] konvergent ist, gibt es C > 0 so, dass [mm] \forall i\in\IN: [/mm] $C > [mm] |y_{i}|$.
[/mm]
Für [mm] i\in\IN [/mm] ex. wegen [mm] $y_{i}\in P(\IC)$ [/mm] ein [mm] $z_{i}\in\IC$ [/mm] so, dass [mm] $P(z_{i}) [/mm] = [mm] y_{i}$. [/mm] Dadurch erhalten wir eine Folge [mm] (z_{i}).
[/mm]
[mm] (z_{i}) [/mm] ist beschränkt, denn für alle [mm] i\in\IN [/mm] gilt entweder:
Fall 1: [mm] $z_{i} [/mm] < L$.
Fall 2: [mm] $z_{i} \ge [/mm] L$: Dann gilt nach Voraussetzung $C > [mm] |y_{i}| [/mm] = [mm] |P(z_{i})| \ge \frac{1}{2}*|a_{n}*z_{i}^{n}|$, [/mm] also [mm] $\sqrt[n]{\frac{2*C}{a_{n}}} [/mm] > [mm] |z_{i}|$.
[/mm]
[mm] (z_{i}) [/mm] ist also beschränkt durch $K:= max(L, [mm] \sqrt[n]{\frac{2*C}{a_{n}}})$.
[/mm]
Da [mm] (z_{i}) [/mm] beschränkt, ex. nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge [mm] (z_{i_{j}}) [/mm] mit [mm] $\lim_{j\to\infty} z_{i_{j}} [/mm] = [mm] z_{0}\in \IC$. [/mm] Entsprechend entsteht eine Teilfolge [mm] (y_{i_{j}}) [/mm] von [mm] (y_{i}), [/mm] für die immer noch gilt: [mm] $\lim_{j\to\infty}y_{i_{j}} [/mm] = [mm] y_{0}$
[/mm]
Dann ist ( P stetig ):
[mm] $y_{0} [/mm] = [mm] \lim_{j\to\infty}y_{i_{j}} [/mm] = [mm] \lim_{j\to\infty}P(z_{i_{j}}) [/mm] = [mm] P(\lim_{j\to\infty}z_{i_{j}}) [/mm] = [mm] P(z_{0})$,
[/mm]
also [mm] y_{0}\in P(\IC).
[/mm]
Stimmt das?
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2. Ich weiß nun, dass [mm] P(\IC) [/mm] abgeschlossen ist.
[mm] \IC [/mm] ist ein Gebiet, und P ist eine holomorphe, nicht konstante Funktion. Deswegen ist auch [mm] P(\IC) [/mm] ein Gebiet.
Das bedeutet, dass [mm] P(\IC) [/mm] offen, abgeschlossen und zusammenhängend ist. Folgt daraus, dass [mm] $P(\IC) [/mm] = [mm] \IC$ [/mm] ? Warum genau?
Dann wäre ja automatisch bewiesen, dass P den Wert 0 auch annimmt.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Mi 16.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> Sei [mm]P(z) = \sum_{k=0}^{n}a_{k}*z^{k}[/mm] ein Polynom vom echten
> Grad n > 0. Nach einer vorherigen Aufgabe gilt dann: Es ex.
> ein L > 0 so, dass für alle [mm]|x| \ge L[/mm] gilt:
> [mm]\frac{1}{2}*|a_{n}*z^{n}| \le |P(z)| \le 2*|a_{n}*z^{n}|[/mm].
>
> 1. Benutzen Sie dies, um zu zeigen, dass [mm]P(\IC)[/mm] eine
> abgeschlossene Teilmenge von [mm]\IC[/mm] ist.
> 2. Folgern Sie dann mit dem Satz von der Gebietstreue,
> dass P auf [mm]\IC[/mm] den Wert 0 annimmt.
> Hallo!
>
> Ich habe bereits Probleme bei 1., bzw. ich denke es ist zu
> kompliziert:
>
> Sei [mm]y_{i}\in P(\IC)[/mm] mit [mm]y_{i}\to y_{0}\in\IC[/mm]. Zu zeigen:
> [mm]y_{0}\in P(\IC)[/mm].
>
> Da [mm](y_{i})[/mm] konvergent ist, gibt es C > 0 so, dass [mm]\forall i\in\IN:[/mm]
> [mm]C > |y_{i}|[/mm].
> Für [mm]i\in\IN[/mm] ex. wegen [mm]y_{i}\in P(\IC)[/mm] ein
> [mm]z_{i}\in\IC[/mm] so, dass [mm]P(z_{i}) = y_{i}[/mm]. Dadurch erhalten wir
> eine Folge [mm](z_{i}).[/mm]
>
> [mm](z_{i})[/mm] ist beschränkt, denn für alle [mm]i\in\IN[/mm] gilt
> entweder:
>
> Fall 1: [mm]z_{i} < L[/mm].
> Fall 2: [mm]z_{i} \ge L[/mm]: Dann gilt nach
> Voraussetzung [mm]C > |y_{i}| = |P(z_{i})| \ge \frac{1}{2}*|a_{n}*z_{i}^{n}|[/mm],
> also [mm]\sqrt[n]{\frac{2*C}{a_{n}}} > |z_{i}|[/mm].
>
> [mm](z_{i})[/mm] ist also beschränkt durch [mm]K:= max(L, \sqrt[n]{\frac{2*C}{a_{n}}})[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da [mm](z_{i})[/mm] beschränkt, ex. nach dem Satz von
> Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge [mm](z_{i_{j}})[/mm]
> mit [mm]\lim_{j\to\infty} z_{i_{j}} = z_{0}\in \IC[/mm].
> Entsprechend entsteht eine Teilfolge [mm](y_{i_{j}})[/mm] von
> [mm](y_{i}),[/mm] für die immer noch gilt:
> [mm]\lim_{j\to\infty}y_{i_{j}} = y_{0}[/mm]
>
> Dann ist ( P stetig ):
> [mm]y_{0} = \lim_{j\to\infty}y_{i_{j}} = \lim_{j\to\infty}P(z_{i_{j}}) = P(\lim_{j\to\infty}z_{i_{j}}) = P(z_{0})[/mm],
>
> also [mm]y_{0}\in P(\IC).[/mm]
>
> Stimmt das?
Ja.
> 2. Ich weiß nun, dass [mm]P(\IC)[/mm] abgeschlossen ist.
> [mm]\IC[/mm] ist ein Gebiet, und P ist eine holomorphe, nicht
> konstante Funktion. Deswegen ist auch [mm]P(\IC)[/mm] ein Gebiet.
> Das bedeutet, dass [mm]P(\IC)[/mm] offen, abgeschlossen und
> zusammenhängend ist.
Und vor allem: nicht leer!
> Folgt daraus, dass [mm]P(\IC) = \IC[/mm] ? Warum genau?
Nun, [mm] $\IC$ [/mm] ist zusammenhaengend. Damit kann man [mm] $\IC$ [/mm] nur als disjunkte Vereinigung von zwei offenen Mengen $U$ und $V$ schreiben, wenn [mm] $\{ U, V \} [/mm] = [mm] \{ \emptyset, \IC \}$ [/mm] ist.
Hier hast du $U := [mm] P(\IC)$ [/mm] und $V := [mm] \IC \setminus P(\IC)$; [/mm] sie sind offen (da [mm] $P(\IC)$ [/mm] abgeschlossen und offen ist), disjunkt und ihre Vereinigung ist [mm] $\IC$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für die Hilfe 
Hab's hinbekommen.
Grüße,
Stefan
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