matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-SonstigesBeweis Funktionenfolgen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Beweis Funktionenfolgen
Beweis Funktionenfolgen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis Funktionenfolgen: Beweis erklären
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Mo 03.10.2016
Autor: Lohrre

Aufgabe
Sei die Funktionenfolge [mm] {f_n}_{(n \in \IN)} [/mm] mit [mm] f_n [/mm] : J -> [mm] \IR [/mm] gleichgradig stetig und konvergent für alle x [mm] \in [/mm] A, wobei A [mm] \subset [/mm] J eine in f dichte Teilmenge ist. Dann konvergiert auch [mm] {f_n}_{(n \in \IN)} [/mm] für x [mm] \in [/mm] J und zwar gleichmäßig.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

nachdem mir hier bei meiner letzten Frage super geholfen wurde, hoffe ich jetzt wieder auf so hilfreiche Antworten :)
Also obenstehendes Lemma soll bewiesen werden. Ich habe den Beweis hier, verstehe ihn aber leider garnicht.

Zum Beweis: Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0, [mm] \delta= \delta(\varepsilon), [/mm] sodass für alle [mm] n\ge [/mm] 1 gilt: [mm] |f_{n}{x} -f_{n}(\bar{x})| <\varepsilon [/mm] für alle x, [mm] \bar{x} \in [/mm] J mit |x- [mm] \bar{x}| [/mm] < [mm] \delta. [/mm]
Weil A dicht in J liegt, existiert für x [mm] \in [/mm] J ein [mm] \tilde{x} \in [/mm] A mit |x- [mm] \tilde{x}| [/mm] < [mm] \delta. [/mm]
Da [mm] {f_n}_{(n \in \IN)} [/mm] konvergiert, existiert ein [mm] m=n_0({\varepsilon}), [/mm] sodass
[mm] |f_{n}{\tilde{x}} -f_{m}{\tilde{x}})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n,m [mm] \ge n_0 [/mm] .

Damit gilt: [mm] |f_m({\tilde{x}}) -f_{n}({\tilde{x}})| \le |f_m({x}) -f_{m}(\tilde{x})| [/mm] + [mm] |f_m (\tilde{x}) -f_{n}(\tilde{x})| [/mm] +  [mm] |f_n{(\tilde{x})} -f_{m}({x})| \ge [/mm] 3 [mm] \varepsilon [/mm] ,

also ist [mm] {f_n}_{(n \in \IN)} [/mm]  eine Cauchyfolge und damit konvergent. Da [mm] \delta [/mm] unabhängig von x ist, ist [mm] {f_n} [/mm] glm. konvergent.


Ich habe mir den Beweis schon ewig angeschaut. Leider blicke ich von vorne bis hinten nicht durch, wie man da überhaupt vorgeht und was man da macht.Außer, dass man zeigt, dass eine Cauchyfolge raus kommt.
Bitte kann sich jemand meiner annehmen und mir erklären, wie man da vorgeht?

GLG und danke!


        
Bezug
Beweis Funktionenfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:06 Mo 03.10.2016
Autor: hippias

In dem Text sind doch lauter Fehler - ich vermute, dass Du falsch abgeschrieben hast: überprüfe bzw. korrigiere das bitte.

Da Du keine konkrete Frage stellst, möchte ich Dich zuerst fragen, ob Dir die Begriffe: gleichgradig stetig, konvergent, dicht und gleichmässig konvergent bekannt sind.

Bezug
                
Bezug
Beweis Funktionenfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:19 Mo 03.10.2016
Autor: Lohrre

Verzeihunh, da hast du Recht, das Skript kann man leider nicht wirklich lesen, das ich da habe..
Jetzt müsste es allerdings passen.
Ich habe mir alle Definitionen rausgeschrieben, aber leider kann ich den Beweis trotzdem nicht nachvollziehen. Von Anfang an weiß ich eig nicht, was man macht.

Mfg

Bezug
                        
Bezug
Beweis Funktionenfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:28 Mo 03.10.2016
Autor: hippias

Na, wenn jetzt alle Fehler ausgebessert sind...

Wie lautet die Definition von gleichgradig stetig?

Bezug
                                
Bezug
Beweis Funktionenfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:10 Mo 03.10.2016
Autor: Lohrre

J:=[a,b] [mm] \in \IR [/mm] und M [mm] \subset [/mm] {f: J [mm] \to [/mm] R}. M heißt gleichgradig stetig, wenn [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall x,\bar{x}mit [/mm] |x- [mm] \bar{x}| [/mm] < [mm] \delta: [/mm] |f(x) - [mm] f(\bar{x})| [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm]



Bezug
                                        
Bezug
Beweis Funktionenfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:27 Di 04.10.2016
Autor: hippias

Schön. Wo findest Du dies im Beweis wieder?

Bezug
                                        
Bezug
Beweis Funktionenfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:03 Di 04.10.2016
Autor: fred97


> J:=[a,b] [mm]\in \IR[/mm] und M [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{f: J [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

R}. M heißt

> gleichgradig stetig, wenn [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists \delta[/mm]
> >0 [mm]\forall x,\bar{x}mit[/mm] |x- [mm]\bar{x}|[/mm] < [mm]\delta:[/mm] |f(x) -
> [mm]f(\bar{x})|[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]
>  
>  

Ich finde das weniger schön als hippias. Das wichtig(st)e fehlt:

[mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 :
[mm] \forall x,\bar{x} \in [/mm] J  mit |x- [mm]\bar{x}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] und [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] M:

|f(x) -  [mm]f(\bar{x})|[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]

Deutlich: es fehlt " [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] M "



Bezug
                                                
Bezug
Beweis Funktionenfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:01 Di 04.10.2016
Autor: hippias

Ich wollt einfach mal schauen, wie lange das geht...

Bezug
        
Bezug
Beweis Funktionenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:23 Di 04.10.2016
Autor: fred97


> Sei die Funktionenfolge [mm]{f_n}_{(n \in \IN)}[/mm] mit [mm]f_n[/mm] : J ->
> [mm]\IR[/mm] gleichgradig stetig und konvergent für alle x [mm]\in[/mm] A,
> wobei A [mm]\subset[/mm] J eine in f dichte Teilmenge ist. Dann
> konvergiert auch [mm]{f_n}_{(n \in \IN)}[/mm] für x [mm]\in[/mm] J und zwar
> gleichmäßig.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo,
>  
> nachdem mir hier bei meiner letzten Frage super geholfen
> wurde, hoffe ich jetzt wieder auf so hilfreiche Antworten
> :)
>  Also obenstehendes Lemma soll bewiesen werden. Ich habe
> den Beweis hier, verstehe ihn aber leider garnicht.

Vorweg: der unten stehende Beweis ist voller (Schreib-) Fehler und granatenmäßig schlampig. Ob Du das verursacht hast, oder der Autor des Skripts, kann ich nicht beurteilen.


Zu zeigen ist: zu [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit

(*)  [mm] $|f_m(x)-f_n(x)|<3 \varepsilon$ [/mm]  für alle x [mm] \in [/mm] J und alle n,m [mm] \ge n_0. [/mm]


>  
> Zum Beweis: Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0, [mm]\delta= \delta(\varepsilon),[/mm]
> sodass für alle [mm]n\ge[/mm] 1 gilt: [mm]|f_{n}{x} -f_{n}(\bar{x})| <\varepsilon[/mm]
> für alle x, [mm]\bar{x} \in[/mm] J mit |x- [mm]\bar{x}|[/mm] < [mm]\delta.[/mm]


Hier wurde [mm] \varepsilon [/mm] vorgegeben und die gleichgradige Stetigkeit der Folge [mm] (f_n) [/mm] ausgeschlachtet: es gibt ein [mm] \delta [/mm] >0 mit

  (1)   [mm]|f_{n}{x} -f_{n}(\bar{x})| <\varepsilon[/mm]  für alle  x, [mm]\bar{x} \in[/mm] J mit |x- [mm]\bar{x}|[/mm] < [mm]\delta.[/mm]

So, nun geben wir ein x [mm] \in [/mm] J vor.

>  Weil A dicht in J liegt, existiert für x [mm]\in[/mm] J ein
> [mm]\tilde{x} \in[/mm] A mit |x- [mm]\tilde{x}|[/mm] < [mm]\delta.[/mm]


Das ist die Dichtheit von A in J.


> Da [mm]{f_n}_{(n \in \IN)}[/mm] konvergiert, existiert ein
> [mm]m=n_0({\varepsilon}),[/mm] sodass
>

   (2) [mm]|f_{n}{(\tilde{x}) -f_{m}{(\tilde{x})|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für  n,m [mm]\ge n_0[/mm] .


Das ist die punktweise Konvergenz von [mm] (f_n) [/mm] auf A.


>  
> Damit gilt: [mm]|f_m({\tilde{x}}) -f_{n}({\tilde{x}})| \le |f_m({x}) -f_{m}(\tilde{x})|[/mm]
> + [mm]|f_m (\tilde{x}) -f_{n}(\tilde{x})|[/mm] +  [mm]|f_n{(\tilde{x})} -f_{m}({x})| \ge[/mm]
> 3 [mm]\varepsilon[/mm] ,


Das ist völlig falsch !!.

Richtig:

  [mm] $|f_m(x)-f_n(x)|=|f_m(x)-f_m (\tilde{x})+f_m (\tilde{x})-f_n (\tilde{x})+f_n (\tilde{x})-f_n(x)| \le |f_m(x)-f_m (\tilde{x})|+|f_m (\tilde{x})-f_n (\tilde{x})|+|f_n (\tilde{x})-f_n(x)| [/mm] $


Aus (1) und (2) folgt nun (*).


FRED



>  
> also ist [mm]{f_n}_{(n \in \IN)}[/mm]  eine Cauchyfolge und damit
> konvergent. Da [mm]\delta[/mm] unabhängig von x ist, ist [mm]{f_n}[/mm] glm.
> konvergent.
>  
>
> Ich habe mir den Beweis schon ewig angeschaut. Leider
> blicke ich von vorne bis hinten nicht durch, wie man da
> überhaupt vorgeht und was man da macht.Außer, dass man
> zeigt, dass eine Cauchyfolge raus kommt.
>  Bitte kann sich jemand meiner annehmen und mir erklären,
> wie man da vorgeht?
>  
> GLG und danke!
>  


Bezug
                
Bezug
Beweis Funktionenfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:40 Di 04.10.2016
Autor: Lohrre

Danke für diese ausführliche Antwort!
Ja, leider habe ich nur dieses Skript, wo man zum Teil nichts lesen kann und zum anderen verstecken sich hundert Fehler :( weshalb es natürlich noch schwerer zum lernen für mich ist :/

Danke aber für deine Antwort, mir wird schon viel mehr klar.

Zwei Fragen habe ich noch:

$ [mm] |f_m(x)-f_n(x)|=|f_m(x)-f_m (\tilde{x})+f_m (\tilde{x})-f_n (\tilde{x})+f_n (\tilde{x})-f_n(x)| \le |f_m(x)-f_m (\tilde{x})|+|f_m (\tilde{x})-f_n (\tilde{x})|+|f_n (\tilde{x})-f_n(x)| [/mm] $

Hier  benutzt du die Dreiecksungleichung, oder?

Und warum wissen wir bei [mm] |f_m ({x})-f_m (\tilde{x})|, [/mm] dass für das kleiner  [mm] \varepsilon [/mm] gilt? Bei den anderen zwei ist es ja wg 1.)  und 2.) jetzt klar.

Danke dir! Mfg

Bezug
                        
Bezug
Beweis Funktionenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:49 Di 04.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,


> [mm]|f_m(x)-f_n(x)|=|f_m(x)-f_m (\tilde{x})+f_m (\tilde{x})-f_n (\tilde{x})+f_n (\tilde{x})-f_n(x)| \le |f_m(x)-f_m (\tilde{x})|+|f_m (\tilde{x})-f_n (\tilde{x})|+|f_n (\tilde{x})-f_n(x)|[/mm]
>  
>  
> Hier  benutzt du die Dreiecksungleichung, oder?

Ja, tut er.

>  
> Und warum wissen wir bei [mm]|f_m (\tilde{x})-f_n (\tilde{x})|,[/mm] dass für das kleiner  [mm]\varepsilon[/mm] gilt?

Die Folge [mm] $(f_n(\tilde{x}))_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert, da [mm] $(f_n)_{n\in\IN}$ [/mm] punktweise konvergent ist. Insbesondere ist [mm] $f_n(\tilde{x})$ [/mm] also eine Cauchy-Folge. Was bedeutet das dann?

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Beweis Funktionenfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:30 Di 04.10.2016
Autor: Lohrre

Ich meinte warum $ [mm] |f_m ({x})-f_m (\tilde{x})| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist.Verzeihung, bin noch nicht so geübt mit Latexschreibweise!
Das andere ist mir klar, danke. Lg

Bezug
                                        
Bezug
Beweis Funktionenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Di 04.10.2016
Autor: fred97


> Ich meinte warum [mm]|f_m ({x})-f_m (\tilde{x})| < \varepsilon[/mm]
> ist.


Das folgt aus (1)




> Verzeihung, bin noch nicht so geübt mit
> Latexschreibweise!
>  Das andere ist mir klar, danke. Lg


Bezug
                                                
Bezug
Beweis Funktionenfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:04 Di 04.10.2016
Autor: Lohrre

Danke! Lg

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 10h 35m 7. Gonozal_IX
UAnaR1FolgReih/Landau-Symbol (Big-O)
Status vor 1d 13h 36m 11. Gonozal_IX
UAnaRn/Existenz der Ableitung
Status vor 2d 2. Staffan
UFina/Estimating the Value at Risk
Status vor 3d 3. fred97
UAnaSon/Integrationsreihenfolge ∫∫
Status vor 3d 2. Gonozal_IX
SStochWkeit/WK einer Binomialv.
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]