Beweis Ganzzahligkeit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Fry |
Huhu,
also ich möchte gerne beweisen, dass [mm] \bruch{(n-1)!}{n} [/mm] für [mm] n\not=4 [/mm] eine ganze Zahl ist. Weiß jemand, wie ich das anpacken muss?
Vielen Dank !
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Mi 24.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Huhu,
>
> also ich möchte gerne beweisen, dass [mm]\bruch{(n-1)!}{n}[/mm] für
> [mm]n\not=4[/mm] eine ganze Zahl ist. Weiß jemand, wie ich das
> anpacken muss?
Gar nicht, weil die Aussage für jede Primzahl n falsch ist.
Gruß Abakus
> Vielen Dank !
>
> LG
> Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo,
danke für den Hinweis, hab vergessen, es in die Aufgabenstellung zu schreiben, dass n keine Primzahl ist!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Mi 24.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> danke für den Hinweis, hab vergessen, es in die
> Aufgabenstellung zu schreiben, dass n keine Primzahl ist!
Also ist n eine zusammengesetzte Zahl, die aus Primfaktoren besteht, die kleiner als n sind.
Jeder einzeln vorkommende Primfaktor von n kürzt sich mit der entsprechenden Zahl aus der Fakultät.
Es muss nur noch nachgewiesen werden, dass ein mehrfach (z.B. k-fach) vorkommender Primfaktor (also [mm] p^k) [/mm] mit mehreren Zahlen aus der Fakultät weggekürzt werden kann (Kandidaten dafür sind die Zahlen p, 2p, 3p,...k*p; es muss also k*p<n sein.
Gruß Abakus
>
> LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mi 24.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Wenn n keine Primzahl ist, wie du ja als Zusatzinfo gegeben hast, ergibt das Produkt aus zwei Zahlen innerhalb der (n-1)! genau n, also kann man den Nenner "wegkürzen", so dass noch ein Produkt aus natürlichen Zahlen (also auch ganzen) Zahlen hast, das dann auch eine ganze Zahl gibt.
Beachte aber die Möglichkeit, dass n eine Quadratzahl ist, das könnte noch zu fiesen Komplikationen führen.
Marius
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:18 Mi 24.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> Wenn n keine Primzahl ist, wie du ja als Zusatzinfo gegeben
> hast, ergibt das Produkt aus zwei Zahlen innerhalb der
> (n-1)! genau n, also kann man den Nenner "wegkürzen", so
> dass noch ein Produkt aus natürlichen Zahlen (also auch
> ganzen) Zahlen hast, das dann auch eine ganze Zahl gibt.
Das geht in einem Fall nicht: falls [m]n=p^2[/m] mit p prim ist. Falls aber [m]p> 2[/m] ist, so ist [m]n/1< 2p[/m] also k[ryt sich das weiterhin weg.
SEcki
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 17:33 Mi 24.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
> > Wenn n keine Primzahl ist, wie du ja als Zusatzinfo gegeben
> > hast, ergibt das Produkt aus zwei Zahlen innerhalb der
> > (n-1)! genau n, also kann man den Nenner "wegkürzen", so
> > dass noch ein Produkt aus natürlichen Zahlen (also auch
> > ganzen) Zahlen hast, das dann auch eine ganze Zahl gibt.
>
> Das geht in einem Fall nicht: falls [m]n=p^2[/m] mit p prim ist.
> Falls aber [m]p> 2[/m] ist, so ist [m]n/1< 2p[/m] also k[ryt sich das
> weiterhin weg.
>
> SEcki
Danke für den Hinweis, ich habe es mal verbessert.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo ihr drei,
vielen Dank für eure erleuchtenden Antworten!
Aber ich frage lieber nochmal nach, sehe ich das so richtig:
1.Fall [mm] n=p^2, [/mm] p prim
Dann ist für [mm] n\not=4, [/mm] also p>2, n-1>2p, weshalb im Zähler p und 2p vorkommen und sich daher [mm] p^2 [/mm] aus dem Nenner wegkürzt
2.Fall n=p*q, O.B.d.A. 1<p<q<n, [mm] p,q\in\IN
[/mm]
Da p,q im Zähler vorkommen,erhält man eine ganze Zahl.
Kann man das formal noch schön aufschreiben?
Danke nochmal für eure Hilfe!
LG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Do 25.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry,
> vielen Dank für eure erleuchtenden Antworten!
> Aber ich frage lieber nochmal nach, sehe ich das so
> richtig:
>
> 1.Fall [mm]n=p^2,[/mm] p prim
> Dann ist für [mm]n\not=4,[/mm] also p>2, n-1>2p, weshalb im Zähler
> p und 2p vorkommen und sich daher [mm]p^2[/mm] aus dem Nenner
> wegkürzt
Genau.
> 2.Fall n=p*q, O.B.d.A. 1<p<q<n, [mm]p,q\in\IN[/mm]
> Da p,q im Zähler vorkommen,erhält man eine ganze Zahl.
Ja.
> Kann man das formal noch schön aufschreiben?
Du kannst noch formal beweisen, dass man im Fall $n [mm] \neq [/mm] p, [mm] p^2$ [/mm] schreiben kann $n = p q$ mit $1 < p < q < n$. Und du koenntest im zweiten Fall evtl andere Buchstaben als $p$ und $q$ verwenden, da damit oft Primzahlen gemeint sind ;)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:27 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Fry |
Danke schön!
VG
Fry
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