Beweis Gegenereignis < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Beweise:
[mm] \summe_{i=0}^{k}\bruch{n!}{i!(n-i)!}*p^i*(1-p)^{n-i}= 1-\summe_{i=0}^{n-k-1}\bruch{n!}{i!(n-i)!}*(1-p)^{i}*p^{n-i})
[/mm]
Das soll ich beweisen, mir fehlt jedoch der Ansatz.
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Hallo Heatshawk,
wenn Du [mm] \vektor{n\\i}=\vektor{n\\n-i} [/mm] auf die rechte Summe anwendest und den Laufindex entsprechend änderst, kannst Du die Summe anschließend nach links bringen und erhältst eine elementare Gleichung...
Grüße
reverend
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[mm] \summe_{i=0}^{k}\bruch{n!}{i!(n-i)!}\cdot{}p^i\cdot{}(1-p)^{n-i}= 1-\summe_{i=0}^{n-k-1}\bruch{n!}{i!(n-i)!}\cdot{}(1-p)^{i}\cdot{}p^{n-i}
[/mm]
Nun gilt $ [mm] \vektor{n\\i}=\vektor{n\\n-i} [/mm] $ , was ich auch schon einmal bewiesen habe.
Dann würde da doch stehen:
$ [mm] \summe_{i=0}^{k}\bruch{n!}{i!(n-i)!}\cdot{}p^i\cdot{}(1-p)^{n-i}= 1-\summe_{i=0}^{n-k-1}\bruch{n!}{(n-i)!i!}\cdot{}(1-p)^{n-i}\cdot{}p^{i} [/mm] $
Das wäre dann
$ [mm] \summe_{i=0}^{k}\bruch{n!}{i!(n-i)!}\cdot{}p^i\cdot{}(1-p)^{n-i} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n-k-1}\bruch{n!}{(n-i)!i!}\cdot{}(1-p)^{n-i}\cdot{}p^{i} [/mm] $= 1
Wie kann ich jetzt beweisen, dass die Summe der Summen immer 100% ergibt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Mo 18.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Wie kann ich jetzt beweisen, dass die Summe der Summen
> immer 100% ergibt?
Setze mal in der Summe
[mm] $\summe_{i=0}^{n-k-1}\bruch{n!}{i!(n-i)!}\cdot{}(1-p)^{i}\cdot{}p^{n-i}) [/mm] $
$j=n-i [mm] \iff [/mm] i=n-j$.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Mo 18.05.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Heatshawk,
die Ersetzung, die Luis Dir nahelegt, ist sogar Pflicht.
Du hast in der Darstellung der Summanden (in der ursprünglich "rechten" Summe) zwar i durch n-i und umgekehrt ersetzt, nicht aber im Laufindex!
Grüße
reverend
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Wäre das dann
$ [mm] \summe_{i=0}^{k}\bruch{n!}{i!(n-i)!}\cdot{}p^i\cdot{}(1-p)^{n-i} [/mm] + [mm] \summe_{n-i=0}^{n-k-1}\bruch{n!}{(n-i)!i!}\cdot{}(1-p)^{n-i}\cdot{}p^{i} [/mm] $= 1
Und wie gehts weiter? =/
Ich weiß nicht wie ich die Summen zusammenfassen soll.
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Hallo Heatshawk,
> Wäre das dann
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> [mm] \summe_{i=0}^{k}\bruch{n!}{i!(n-i)!}\cdot{}p^i\cdot{}(1-p)^{n-i} [/mm] + [mm] \summe_{n-i=0}^{n-k-1}\bruch{n!}{(n-i)!i!}\cdot{}(1-p)^{n-i}\cdot{}p^{i}=1 [/mm]
nein, das wäre es nicht. Es fehlt noch die Ersetzug des oberen Laufindexes.
Du hast in der rechten Summe jetzt fast alles ersetzt. Ich schreibe aber (wie von Luis52 vorgeschlagen) mal überall dort ein blaues [mm] \blue{j}, [/mm] wo Du eine Ersetzung vorgenommen hast. Das ist übrigens eine sehr einfache Methode, den Überblick zu behalten...
[mm] \summe_{i=0}^{k}\bruch{n!}{i!(n-i)!}\cdot{}p^i\cdot{}(1-p)^{n-i} [/mm] + [mm] \summe_{n-j=0}^{\red{n-k-1}} \bruch{n!}{(n-\blue{j})!\blue{j}!}\cdot{}(1-p)^{n-\blue{j}}\cdot{}p^{\blue{j}}=1 [/mm]
Nicht so offensichtlich ist wohl, dass man auch den oberen Laufindex mit substituieren muss. Er gibt ja aber an, bis wohin das frühere i laufen musste. i konnte also höchstens den Wert n-k-1 annehmen. Mit j=n-i ist jetzt eine neue Grenze für j zu bestimmen: n-(n-k-1)=k+1.
Dann heißt Deine Gleichung:
[mm] \summe_{i=0}^{k}\bruch{n!}{i!(n-i)!}\cdot{}p^i\cdot{}(1-p)^{n-i} [/mm] + [mm] \summe_{j=n}^{\blue{k+1}} \bruch{n!}{(n-j)!j!}\cdot{}(1-p)^{n-j}\cdot{}p^{j}=1
[/mm]
Die rechte Summe scheint nun "rückwärts" zu laufen. Das macht aber nichts. Wir tauschen einfach die Laufgrenzen, und anders als bei Integralen ändert sich dadurch nichts. Es ist wegen der Kommutativität der Addition ja egal, ob ich [mm] a_1+a_2+\cdots+a_n [/mm] oder [mm] a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1 [/mm] rechne.
Zugleich wähle ich für die Übersichtlichkeit jetzt in beiden Summen eine neue Laufvariable m=i=j
[mm] \summe_{m=0}^{k}\bruch{n!}{m!(n-m)!}\cdot{}p^m\cdot{}(1-p)^{n-m} [/mm] + [mm] \summe_{m=k+1}^{n}\bruch{n!}{(n-m)!m!}\cdot{}(1-p)^{n-m}\cdot{}p^{m}=1
[/mm]
> Und wie gehts weiter? =/
> Ich weiß nicht wie ich die Summen zusammenfassen soll.
Jetzt aber, oder?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Heatshawk |
Danke für die Ausführliche Antwort. Jetzt habe ich es auch verstanden^^.
Bin nicht fit auf dem Gebiet, haben es in der Schule noch nicht explizit durchgenommen und deswegen sagen mir Begriffe wie "Laufindex" auch nur indirekt was.
Trotzdem vielen dank^^
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Kann ich sagen m=i=j und j=n-i ??
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Ja, klar.
Du brauchst doch jetzt nur noch die beiden Summen zu einer zusammenzufassen. Es wird das gleiche summiert (jedenfalls nach Anwendung des Assoziativgesetzes), und m läuft von 0 bis n. Die entstehende Summe sollte Dir bekannt vorkommen - vergleiche mal mit [mm] (a+b)^n.
[/mm]
Grüße
reverend
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