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| Aufgabe | Es seien [mm] a_0,...a_k \in \IR [/mm] gegeben. Wir betrachten die Folgen:
[mm] p_n [/mm] = [mm] a_kn^k+a_k_-_1*n^{k-1}+...+a_1k+a_0
[/mm]
[mm] q_n=n^k+1
[/mm]
Zeigen Sie, dass lim [mm] \bruch{p_n}{q_n} =a_k
[/mm]
[mm] n\to\infty [/mm] |
Hallo!
Also ich versuche mich mal wieder an einem Beweis und weiß nicht so recht wie es weiter gehen soll.
Ich habe zunächst versucht mit der Definition von Konvergenz ans Ziel zu kommen:
[mm] \left| \bruch{a_kn^k+ a_k_-_1*n^k^-^1+...+a_1k+a_0}{n^k+1}- a_k\right| [/mm] =
[mm] \left| \bruch{a_k_-_1*n^k^-^1+...+a_1k+a_0- a_k}{n^k+1}\right|
[/mm]
< [mm] \bruch{a_k_-_1*n^k^-^1+...+a_1k+a_0- a_k}{n^k}\right|
[/mm]
[mm] <\bruch{a_k_-_1*n^k^-^1+...+a_1k+a_0- a_k}{n} \right|
[/mm]
Für [mm] n\ge [/mm] N gilt
[mm] <\bruch{a_k_-_1*n^k^-^1+...+a_1k+a_0- a_k}{N} \right|<\varepsilon
[/mm]
Für [mm] N=\bruch{a_k_-_1*n^k^-^1+...+a_1k+a_0- a_k}{\varepsilon}\right|
[/mm]
Unfug oder? Das würde ja irgendwie für jede Zahl gelten und wär ja gar nicht von [mm] a_k [/mm] abhängig? Mit [mm] a_k [/mm] macht man ja irgendwie nix hier ??
Über einen Anschubser würde ich mich sehr freuen.
Beste Grüße
Neuling88
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Hallo,
dann mal wie gewünscht nur ein minimaler Anschubser:
Denk doch mal an den Grenzwert der beiden Folgen und woraus dieser sich zusammensetzt. Welche Elemente sind enthalten. Schaue dir mal die einzelnen Summanden und deren Grenzwerte (wenn es sie gibt) an.
Tipp: Ist k positiv oder negativ?
Noch ein Hinweis (der evtl. auch noch bewiesen werden muss):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{p_{n}}{q_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}p_{n}}{\limes_{n\rightarrow\infty}q_{n}}
[/mm]
VGR
k
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> dann mal wie gewünscht nur ein minimaler Anschubser:
>
> Denk doch mal an den Grenzwert der beiden Folgen und woraus
> dieser sich zusammensetzt. Welche Elemente sind enthalten.
> Schaue dir mal die einzelnen Summanden und deren Grenzwerte
> (wenn es sie gibt) an.
>
> Tipp: Ist k positiv oder negativ?
>
> Noch ein Hinweis (der evtl. auch noch bewiesen werden
> muss):
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{p_{n}}{q_{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}p_{n}}{\limes_{n\rightarrow\infty}q_{n}}[/mm]
Das ist doch Quatsch ! Dann hätten wir ja [mm] \bruch{ \pm \infty}{\pm \infty}. [/mm] Und dann ????
>
> VGR
> k
>
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Hallo,
schreibe dir mal [mm]\frac{p_n}{q_n}[/mm] auf und klammere in Zähler und Nenner [mm]n^k[/mm] aus ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Di 02.11.2010 | | Autor: | Neuling88 |
Hallo Schachuzipus
> Hallo,
>
> schreibe dir mal [mm]\frac{p_n}{q_n}[/mm] auf und klammere in
> Zähler und Nenner [mm]n^k[/mm] aus ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Ah klar ok. Dann kommt da nach dem Kürzen raus:
lim [mm] \bruch{a_k+a_k_-_1*1/n+...+a_1*k*1/(n^k)+a_0*1/(n^k)}{1+1/(n^k)}
[/mm]
[mm] n\to\infty
[/mm]
Dann werden alle Produkte mit [mm] 1/n^k [/mm] bzw. 1/n Null für n gegen unendlich und es bleibt stehen.
lim [mm] p_n/q_n=a_k/1=a_k
[/mm]
[mm] n\to\infty
[/mm]
Na das war ja einfach. Manchmal seh ich einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht...
Danke für den Anschubser ;)
Grüße
Neuling88
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