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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Di 28.10.2008 | | Autor: | fyaa |
| Aufgabe | Sei M := {f : f ist Abbildung von [0,1] nach [0,1] }.
Für zwei Abbildungen f,g [mm] \in [/mm] M de finieren wir die Verknüpfung f [mm] \circ [/mm] g durch Hintereinanderausführung von f und g, also (f [mm] \circ [/mm] g) : x [mm] \mapsto [/mm] f(g(x)) für x [mm] \in [/mm] [0, 1].
Beweisen oder widerlegen Sie, dass es sich bei der Struktur (M, [mm] \circ) [/mm] um eine Gruppe handelt. |
So, zeigen müsste man ja:
f [mm] \circ [/mm] e = f
Dürfte gegeben sein, wenn das neutrale Element e als Abbildung den Punkt auf sich selbst abbildet.
Sei e := [mm] \{a,b \in [0,1]² : a = b\}, [/mm] dann ist e das neutrale Element.
Es muss ein inverses Element geben:
Wenn z.B. 0,4 auf 0,8 abgebildet wird durch f
und 0,8 auf 0,4 von f', dann existiert ein inverses Element (?).
Dann würde f [mm] \circ [/mm] f' = e gelten.
Ich kann aber nicht sagen, wie ich das formell aufschreiben soll.
Zu guter letzt müsste ja noch das Assoziativgesetz erfüllt sein... auch hier fällt mir kein wirklicher Ansatz ein.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Di 28.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei M := {f : f ist Abbildung von [0,1] nach [0,1] }.
> Für zwei Abbildungen f,g [mm]\in[/mm] M de finieren wir die
> Verknüpfung f [mm]\circ[/mm] g durch Hintereinanderausführung von f
> und g, also (f [mm]\circ[/mm] g) : x [mm]\mapsto[/mm] f(g(x)) für x [mm]\in[/mm] [0,
> 1].
> Beweisen oder widerlegen Sie, dass es sich bei der
> Struktur (M, [mm]\circ)[/mm] um eine Gruppe handelt.
> So, zeigen müsste man ja:
> f [mm]\circ[/mm] e = f
> Dürfte gegeben sein, wenn das neutrale Element e als
> Abbildung den Punkt auf sich selbst abbildet.
> Sei e := [mm]\{a,b \in [0,1]² : a = b\},[/mm] dann ist e das
> neutrale Element.
Naja... das ist der Graph des neutralen Elementes. Die Abbildung schreibt man meist so auf:
[mm] $e:[0,1]\ni x\mapsto x\in[0,1]$
[/mm]
> Es muss ein inverses Element geben:
> Wenn z.B. 0,4 auf 0,8 abgebildet wird durch f
> und 0,8 auf 0,4 von f', dann existiert ein inverses
> Element (?).
> Dann würde f [mm]\circ[/mm] f' = e gelten.
Überleg doch mal, wie das Inverse der konstanten 0-Funktion aussieht.
Gruß, Robert
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