Beweis Komplexe Potenzfunktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei r>0 und [mm] \zeta= e^{(2*\pi*i)/n} [/mm] mit festem n in [mm] \pi.
[/mm]
Sei f: [mm] B_{r}(0)-> \IC [/mm] holomorph, so dass gilt f(z) = [mm] f(\zeta*z) [/mm] für alle z [mm] \in B_{r}(0).
[/mm]
Zeigen Sie: Es existiert eine holomorphe Funktion g: [mm] B_{r^n}(0) [/mm] -> [mm] \IC [/mm] mit f(z)= [mm] g(z^n) [/mm] für alle z [mm] \in B_{r}(0)). [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Beweisaufgabe-zu-Potenzfunktionen-im-Komplexen
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Im Vorlesungsskript steht eine Aussage: Liegt die Kreisscheibe [mm] B_{R}(z_{0}):= \{z= \in \IC : | z-z_{0}|<= R\} [/mm] in U. So gilt:
[mm] \integral_{|z-z_{0}|=R}{f(z) dz} [/mm] =0
Ich hab hier leider überhaupt keine Ahnung, ich kann mir vorstellen, dass man irgendwie die Chauchyintegrationsformel zur Anwendung bringen muss und dann den Fall [mm] B_{r}(0) [/mm] irgendwie auf den Fall [mm] B_{r^n}(0) [/mm] erweitern muss, aber die Frage ist wie und ob das überhaupt stimmt?
Was ich mir auch denken könnte ist, dass man zeigen muss [mm] f(\zeta*z)=g(z^n) [/mm] und das für alle z? Aber wie zeigt man das für alle z, also dass das ohne Einschränkung gilt? Reicht es einfach durch Umformung zu zeigen das [mm] f(\zeta*z)=g(z^n) [/mm] gilt? Geht das mit der Chauchyintegrationsformel? bzw. wenn ja, wie wende ich diese hier richtig an?
Es wäre sehr nett, wenn ihr mir helfen könntet, weil außer wirkliches raten und auf gut Glück irgendwas zu produzieren das wahrscheinlich nicht stimmt kann ich hier nicht, bzw. ich habe keine Ahnung wie die richtige Lösung auszusehen hat und wie man diese Korrekt hinschreibt.
Ich bedanke mich schon mal in Voraus.
Mit freundlichen Grüßen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 So 22.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei r>0 und [mm]\zeta= e^{(2*\pi*i)/n}[/mm] mit festem n in [mm]\pi.[/mm]
> Sei f: [mm]B_{r}(0)-> \IC[/mm] holomorph, so dass gilt f(z) =
> [mm]f(\zeta*z)[/mm] für alle z [mm]\in B_{r}(0).[/mm]
> Zeigen Sie: Es
> existiert eine holomorphe Funktion g: [mm]B_{r^n}(0)[/mm] -> [mm]\IC[/mm] mit
> f(z)= [mm]g(z^n)[/mm] für alle z [mm]\in B_{r}(0)).[/mm]
> Ich habe diese
> Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten
> gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Beweisaufgabe-zu-Potenzfunktionen-im-Komplexen
>
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> Im Vorlesungsskript steht eine Aussage: Liegt die
> Kreisscheibe [mm]B_{R}(z_{0}):= \{z= \in \IC : | z-z_{0}|<= R\}[/mm]
> in U. So gilt:
>
> [mm]\integral_{|z-z_{0}|=R}{f(z) dz}[/mm] =0
>
> Ich hab hier leider überhaupt keine Ahnung, ich kann mir
> vorstellen, dass man irgendwie die
> Chauchyintegrationsformel zur Anwendung bringen muss und
> dann den Fall [mm]B_{r}(0)[/mm] irgendwie auf den Fall [mm]B_{r^n}(0)[/mm]
> erweitern muss, aber die Frage ist wie und ob das
> überhaupt stimmt?
>
> Was ich mir auch denken könnte ist, dass man zeigen muss
> [mm]f(\zeta*z)=g(z^n)[/mm] und das für alle z? Aber wie zeigt man
> das für alle z, also dass das ohne Einschränkung gilt?
> Reicht es einfach durch Umformung zu zeigen das
> [mm]f(\zeta*z)=g(z^n)[/mm] gilt? Geht das mit der
> Chauchyintegrationsformel? bzw. wenn ja, wie wende ich
> diese hier richtig an?
>
>
> Es wäre sehr nett, wenn ihr mir helfen könntet, weil
> außer wirkliches raten und auf gut Glück irgendwas zu
> produzieren das wahrscheinlich nicht stimmt kann ich hier
> nicht, bzw. ich habe keine Ahnung wie die richtige Lösung
> auszusehen hat und wie man diese Korrekt hinschreibt.
>
> Ich bedanke mich schon mal in Voraus.
Aus $f(z) = [mm] f(\zeta\cdot{}z) [/mm] $ folgt [mm] $f'(z)=\zeta f'(\zeta\cdot{}z)$.
[/mm]
Ist n [mm] \ne [/mm] 1, s0 folgt z.B. f'(0)=0.
Nun überlege Dir, dass gilt [mm] f^{(k)}(0)=0 [/mm] , wenn k kein Vielfaches von n ist.
Damit lautet die Potenzreihenentwicklung von f für |z|<r:
[mm] f(z)=a_0+a_nz^n+a_{2n}z^{2n}+.......
[/mm]
Nun sollte Dir g ins Auge springen...
FRED
> Mit freundlichen Grüßen
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| Aufgabe | Sei r>0 und [mm] \zeta= e^{(2*\pi*i)/n} [/mm] mit festem n in [mm] \pi.
[/mm]
Sei f: [mm] B_{r}(0)-> \IC [/mm] holomorph, so dass gilt f(z) = [mm] f(\zeta*z) [/mm] für alle z [mm] \in B_{r}(0).
[/mm]
Zeigen Sie: Es existiert eine holomorphe Funktion g: [mm] B_{r^n}(0) [/mm] -> [mm] \IC [/mm] mit f(z)= [mm] g(z^n) [/mm] für alle z [mm] \in B_{r}(0)). [/mm] |
Ich habe folgendes Verständnissproblem:
Warum muss f'(0)=0 sein ?
Wenn f' z.b. eine Exponentialfunktion ist, dann ist [mm] f'(0)\not=0.
[/mm]
Oder darf ich einfach bestimmen, dass f bzw. f' keine Exponentialfunktio ist, da ja nur als Einschränkung gegeben ist, dass f holomorph ist?
Allgemein gilt ja für diese Funktion:
[mm] f^{(n)}(z)=(\zeta)^k*f^{(n)}(\zeta*z)
[/mm]
Für z=0 ergiebt sich dann:
[mm] f^{(n)}(0)=(\zeta)^k*f^{(n)}(0)
[/mm]
Wenn man nicht vorraussetzt, bzw. nicht weiß , dass [mm] f^{(n)}(0)=0 [/mm] ist kann man jetzt durch [mm] f^{(n)}(0) [/mm] dividieren?
Damit ergibt sich [mm] 1=(\zeta)^k [/mm] ?
Wobei nach dieser betrachtung für (2/n)*k = 2x eine wahre Aussage gilt, da [mm] 1=(\zeta)^k [/mm] = (-1)^((2/n)*k)?
Für (2/n)*k = x wäre (-1)^((2/n)*k)=-1 für ungerade x und [mm] -1\not=1.
[/mm]
Folgt hierraus, dass [mm] f^{(n)}(0)=0 [/mm] ist für den fall, dass k kein Vielfaches von n ist?
Wie kann man (daraus) folgern, dass gilt [mm] f^{(n)}(0)=0 [/mm] bzw. f'(0)=0?
Ich bedanke mich soweit und würde mich freuen, wenn man mir noch weiterhelfen könnte.
Mit freundlichen Grüßen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Mo 23.05.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist dir wirklich nicht klar, dass für [mm] c\neq [/mm] 1 aus h(z)=c*h(z) folgt h(z)=0?
genau das hat doch fred mit h=f' geschrieben?
da du ja schon f^(k) richtig hingeschrieben hast für welche k ist das dann [mm] \neq [/mm] 0
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei r>0 und [mm]\zeta= e^{(2*\pi*i)/n}[/mm] mit festem n in [mm]\pi.[/mm]
> Sei f: [mm]B_{r}(0)-> \IC[/mm] holomorph, so dass gilt f(z) =
> [mm]f(\zeta*z)[/mm] für alle z [mm]\in B_{r}(0).[/mm]
> Zeigen Sie: Es
> existiert eine holomorphe Funktion g: [mm]B_{r^n}(0)[/mm] -> [mm]\IC[/mm] mit
> f(z)= [mm]g(z^n)[/mm] für alle z [mm]\in B_{r}(0)).[/mm]
> Ich habe folgendes
> Verständnissproblem:
>
>
> Warum muss f'(0)=0 sein ?
> Wenn f' z.b. eine Exponentialfunktion ist, dann ist
> [mm]f'(0)\not=0.[/mm]
> Oder darf ich einfach bestimmen, dass f bzw. f' keine
> Exponentialfunktio ist, da ja nur als Einschränkung
> gegeben ist, dass f holomorph ist?
>
> Allgemein gilt ja für diese Funktion:
>
> [mm]f^{(n)}(z)=(\zeta)^k*f^{(n)}(\zeta*z)[/mm]
>
> Für z=0 ergiebt sich dann:
>
> [mm]f^{(n)}(0)=(\zeta)^k*f^{(n)}(0)[/mm]
>
> Wenn man nicht vorraussetzt, bzw. nicht weiß , dass
> [mm]f^{(n)}(0)=0[/mm] ist kann man jetzt durch [mm]f^{(n)}(0)[/mm]
> dividieren?
>
> Damit ergibt sich [mm]1=(\zeta)^k[/mm] ?
>
> Wobei nach dieser betrachtung für (2/n)*k = 2x eine wahre
> Aussage gilt, da [mm]1=(\zeta)^k[/mm] = (-1)^((2/n)*k)?
> Für (2/n)*k = x wäre (-1)^((2/n)*k)=-1 für ungerade x
> und [mm]-1\not=1.[/mm]
> Folgt hierraus, dass [mm]f^{(n)}(0)=0[/mm] ist für den fall, dass
> k kein Vielfaches von n ist?
>
> Wie kann man (daraus) folgern, dass gilt [mm]f^{(n)}(0)=0[/mm] bzw.
> f'(0)=0?
>
> Ich bedanke mich soweit und würde mich freuen, wenn man
> mir noch weiterhelfen könnte.
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
Machen wirs mal so:
Fall 1: n=1. Dann ist [mm] \zeta=1. [/mm] Wie schaut nun das gesuchte g aus ?
Fall 2: n>1. Mache Dir klar:
ist k [mm] \in \IN [/mm] und ist k kein Vielfaches von n, so ist
(*) $ 0 [mm] \ne \zeta^k \ne [/mm] 1.$
Mit der Kettenregel bekommen wir;
$ [mm] f^{(k)}(z)= \zeta^k f^{(k)}(\zeta [/mm] z)$,
also
$ [mm] f^{(k)}(0)= \zeta^k f^{(k)}(0)$.
[/mm]
Ist nun k kein Vielfaches von n, so folgt aus (*): $ [mm] f^{(k)}(0)=0$.
[/mm]
Damit lautet die Potenzreihenentwicklung von f für |z|<r:
$ [mm] f(z)=a_0+a_nz^n+a_{2n}z^{2n}+....... [/mm] $
Wie ist nun g zu wählen ?
FRED
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