Beweis Konvergenz Aufg. a) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:26 Di 18.05.2010 | | Autor: | ATDT |
| Aufgabe | a) [mm] a_{n} [/mm] sei eine monoton fallende Nullfolge. Beweise mit dem Cauchy-Krit. für Reihen, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_{n} [/mm] konvergent ist.
|
Wie gehe ich so eine Aufgabe an? Eine Schritt für Schritt Anleitung wäre für mich sehr hilfreich.
Danke im Voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Di 18.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu a)
Wie lautet die n-te Partialsumm [mm] s_n [/mm] der Reihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_{n} [/mm] $
Was mußt Du dann mit dem Cauchykriterium zeigen ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 18.05.2010 | | Autor: | ATDT |
ok ich versuche es mal:
[mm] s_{n}= (\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k a_{k}) [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{1} (-1)^k a_{k}, \summe_{k=1}^{2} (-1)^k a_{k}, \summe_{k=1}^{3} (-1)^k a_{k}, [/mm] ....)
= (-a1, -a1 + a2, -a1 + a2 + a3, ...)
und jetzt? Wie wende ich das Cauchy-Krit. an?
Versteh ich das richtig: Wenn die Glieder der Partialsummen konvergieren, dann konvergiert die Reihe? Und was genau ist mit konvergieren gemeint? Wohin konvergiert sie? an welche zahl? Ist damit der Grenzwert gemeint? Wenn ja, wie berechne ich diesen?
Für jeden Tipp bin ich dankbar!
LG ATDT
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Di 18.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die n te Teilsumme läuft einfach bis n, die m te bis m
jetzt subtrahier die mal. Was bleibt?
dein Produkt von Summen kapier ich nicht, was du dann ausgeschrieben ahst ist sicher falsch.
[mm] S_n =-a1+a2-a3+a4..........+(-1)^n*a_n [/mm]
das entsprechende für [mm] S_m
[/mm]
was ist die Differenz der 2?
Was sagt das Cauchykriterium für Reihen denn genau? schreib das erstmal auf!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Di 18.05.2010 | | Autor: | ATDT |
Lieber leduart,
die n-te Partialsumme ist dann gleich wie die m-te Partialsumme?
Differenz davon ist dann 0.
für eine Cauchy Reihe muss folgendes gelten:
| [mm] a_{m} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm]
richtig?
Ahhh da [mm] (a_{n}) [/mm] eine Nullfolge ist, stimmt das also?
[mm] \varepsilon [/mm] ist eine winzige Zahl größer 0.
Bin ich auf dem richtigen Weg?
LG ATDT
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Di 18.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die m te partialsumme ist nicht gleich der n ten, sondern luft bis m statt n. es bleiben also (fürm>n) m-n Summanden übrig.
Wie kommst du auf die Idee, dass die gleich sind??
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Di 18.05.2010 | | Autor: | ATDT |
hallo,
ja stimmt, ich hab die Bedingung m > n nicht beachtet.
Trotzdem hänge ich immernoch an dieser Aufgabe. Kann mir denn keiner eine Möglichkeit zeigen wie man das löst?
Ich muss das mal gesehen haben. Dann kann ich die anderen Aufgaben hier bestimmt auch nach eurem "Schema" lösen.
I'm stuck!
ATDT
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:21 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
folgendes kann man sich überlegen für [mm] $\tilde{n},r \in \IN$:
[/mm]
[mm] $$a_{\tilde{n}} \ge (a_{\tilde{n}+1}-a_{\tilde{n}+2})+(a_{\tilde{n}+3}-a_{\tilde{n}+4})+\ldots+(a_{\tilde{n}+2r-1}-a_{\tilde{n}+2r}) \ge 0\,.$$
[/mm]
(Frage an Dich: Wieso gilt das erste [mm] $\ge$ [/mm] ?)
Das zeigt, dass man mit
[mm] $$s_p:=\sum_{k=1}^p (-1)^k a_k\;\;\; [/mm] (p [mm] \in \IN)$$
[/mm]
dann [mm] $|s_m-s_n|$ [/mm] für genügend große [mm] $n\,$ [/mm] klein bekommt, sofern jedenfalls für $m > n$ dann genau eine der beiden Zahlen gerade ist.
(Lasse $n [mm] \to \infty$ [/mm] laufen und beachte [mm] $a_n \to 0\,.$)
[/mm]
Beispiele für die obige Ungleichung:
1.)
$$m=10 [mm] \text{ und }n=5 \;\;(\tilde{n}=n+1=6):$$
[/mm]
$$ [mm] |s_m-s_n|=|a_{10}-a_9+a_8-a_7+a_6|=(a_6-a_7)+(a_8-a_9)+a_{10} \ge 0\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$a_6 \ge (a_7-a_8)+(a_9-a_{10}) \ge 0\,.$$
[/mm]
2.)
$$m=21 [mm] \text{ und }n=14 \;\;(\tilde{n}=n+1=15):$$
[/mm]
[mm] $$|s_m-s_n|=|a_{21}-a_{20}+a_{19}-a_{18}+a_{17}-a_{16}+a_{15}|=a_{15}-a_{16}+a_{17}-a_{18}+a_{19}-a_{20}+a_{21} \ge 0\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$a_{15} \ge (a_{16}-a_{17})+(a_{18}-a_{19})+(a_{20}-a_{21}) \ge 0\,.$$
[/mm]
Nun überlege Dir (das geht vollkommen analog), warum Du [mm] $|s_m-s_n|$ [/mm] auch klein genug bekommst, wenn dabei $m > [mm] n\,$ [/mm] beide zugleich jeweils gerade oder beide zugleich jeweils ungerade Zahlen sind.
P.S.:
Allgemein:
Oben gilt für jedes [mm] $\tilde{n} \in \IN$, [/mm] dass für jedes $q [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $$a_{\tilde{n}} \ge \sum_{k=1}^q (-1)^{k+1}a_{\tilde{n}+k}\ge 0\,.$$
[/mm]
Um diese Ungleichungskette zu beweisen benutzt man sowohl [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ als auch [mm] $a_{n}-a_{n+1} \ge 0\,.$
[/mm]
Diese letzte Ungleichungskette ist dann das Hilfsmittel, um einzusehen, dass
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty (-1)^k a_k$$
[/mm]
nach dem Cauchykriterium konvergiert, wobei man dabei [mm] $a_n \to [/mm] 0$ benutzt.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
|
