Beweis Konvergenz von Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mo 16.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
| Aufgabe | | Seien [mm] c_{n}\to0, d_{n}\to0, [/mm] D=[0,1] und [mm] g_{n}(x):=d_{n}*x^{3}+c_{n}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Folge [mm] {g_{n}} [/mm] gleichmäßig auf [0,1] gegen g(x)=0 konvergiert. |
Wie kann ich dieses am besten beweisen? Habe wirklich keinen Ansatz dazu. Wäre über jeden Tipp erfreut.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Mo 16.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Seien [mm]c_{n}\to0, d_{n}\to0,[/mm] D=[0,1] und
> [mm]f_{n}(x):=d_{n}*x^{3}+c_{n}.[/mm] Zeigen Sie, dass die Folge
> [mm]{g_{n}}[/mm] gleichmäßig auf [0,1] gegen g(x)=0 konvergiert.
Wo ist denn die Folge [mm] g_n?
[/mm]
> Wie kann ich dieses am besten beweisen? Habe wirklich
> keinen Ansatz dazu. Wäre über jeden Tipp erfreut.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Mo 16.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Pardon .. habs im Text oben korrigiert.
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Hiho,
eine Folge konvergiert gleichmäßig gegen Null, falls [mm] $||f_n||_\infty \to [/mm] 0$
Schätze also [mm] ||f_n||_\infty [/mm] nach oben ab. Tipp: Dreiecksungleichung.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mo 16.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Hmm
Komme leider nicht auf etwas vernünftiges.
[mm] |d_{n}x^{3}+c_{n}|\le|d_{n}||x^{3}|+|c_{n}|
[/mm]
Irgendwie so etwas?
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Hiho,
> [mm]|d_{n}x^{3}+c_{n}|\le|d_{n}||x^{3}|+|c_{n}|[/mm]
>
> Irgendwie so etwas?
ja, irgendwie so etwas.... nun noch das [mm] \sup_{x\in D} [/mm] drauf anwenden.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mo 16.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Kann mich nicht daran erinnern, dass wir so einen Ausdruck den ich jetzt anwenden soll, behandelt haben. :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Mo 16.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Kann mich nicht daran erinnern, dass wir so einen Ausdruck
> den ich jetzt anwenden soll, behandelt haben. :/
Wir habt ihr gleichmäßige Konvergenz definiert?
Tipp: Die Funktion [mm] $x\mapsto x^3$ [/mm] ist auf [mm] $D\$ [/mm] beschränkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:42 Di 17.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Evtl. [mm] |f_{n}-f||_{n} [/mm] gegen 0 läuft?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Di 17.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Evtl. [mm]|f_{n}-f||_{n}[/mm] gegen 0 läuft?
??? Was soll denn [mm]|f_{n}-f||_{n}[/mm] bedeuten ???
Zeigen sollst Du doch, dass [mm] (g_n) [/mm] auf [0,1] gleichmäßig gegen 0 konvergiert.
Es ist
$ [mm] |g_{n}(x)| \le |d_{n}|\cdot{}|x|^{3}+|c_{n}| [/mm] $
Wegen x [mm] \in [/mm] [0,1] ist [mm] |x|=x\le [/mm] 1, also
$ [mm] |g_{n}(x)| \le |d_{n}|+|c_{n}| [/mm] $
Setzen wir [mm] a_n:=|d_n|+|c_n|, [/mm] so haben wir:
[mm] |g_n(x)| \le a_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und alle x [mm] \in [/mm] [0,1].
[mm] (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge !!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Di 17.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Ich danke !
Kann man das auch mit einem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beweisen?
Sehe es dann so aus ? :
[mm] |d_{n}*x^{3}+c_{n}|\le|d_{n}|*|x^{3}|+|c_{n}|
[/mm]
wobei für [mm] x^{3} n\geN(\varepsilon) [/mm] gilt und somit der Beweis geleistet wurde?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Di 17.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich danke !
>
> Kann man das auch mit einem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beweisen?
>
> Sehe es dann so aus ? :
>
> [mm]|d_{n}*x^{3}+c_{n}|\le|d_{n}|*|x^{3}|+|c_{n}|[/mm]
>
> wobei für [mm]x^{3} n\geN(\varepsilon)[/mm] gilt
ÄÄÄhhh ? was willst und damit sagen ???
> und somit der
> Beweis geleistet wurde?
Nein.
Wir haben mit einer Nullfolge [mm] (a_n):
[/mm]
[mm] |g_n(x)| \le a_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und alle x [mm] \in [/mm] [0,1]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Dann ex. ein [mm] n(\varepsilon) \in \IN [/mm] mit [mm] a_n [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] n>n(\varepsilon).
[/mm]
Somit:
[mm] |g_n(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] n>n(\varepsilon) [/mm] und alle x [mm] \in [/mm] [0,1]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:20 Di 17.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Wollte meinen Beitrag korrigieren, aber warst einfach zu schnell.
In der Übung hatten wir eine ähnliche Aufgabe bearbeitet, jedoch mit [mm] x^{2} [/mm] anstatt [mm] x^{3}.
[/mm]
Dort haben wir behauptet, dass für [mm] x^{2} [/mm] gelte : n [mm] \ge N(\varepsilon) [/mm] und somit der Beweis als erbracht behauptet wurde. Deshalb dachte ich, dass wir es auf einen ähnlichen Weg machen könnten.
Aber mit deinen beiden letzten Beiträgen ist der Beweis nun endgültig erbracht oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Di 17.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wollte meinen Beitrag korrigieren, aber warst einfach zu
> schnell.
>
> In der Übung hatten wir eine ähnliche Aufgabe bearbeitet,
> jedoch mit [mm]x^{2}[/mm] anstatt [mm]x^{3}.[/mm]
>
> Dort haben wir behauptet, dass für [mm]x^{2}[/mm] gelte : n [mm]\ge N(\varepsilon)[/mm]
Das ist doch kompletter Unsinn ! Was soll den
für [mm]x^{2}[/mm] gelte : n [mm]\ge N(\varepsilon)[/mm]
bedeuten ! Das ist doch granatenmäßiger Schwachsinn. Das habt Ihr in der Übung sicher nicht so gemacht. Schreib mal Wort für Wort auf, was Ihr in der Übung gemacht habt.
> und somit der Beweis als erbracht behauptet wurde. Deshalb
> dachte ich, dass wir es auf einen ähnlichen Weg machen
> könnten.
>
> Aber mit deinen beiden letzten Beiträgen ist der Beweis
> nun endgültig erbracht oder?
Wenn Du verstanden hast, was gleichmäßige Konvergenz bedeutet, kannst Du Dir diese Frage selbst beantworten.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Di 17.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Beweis : Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] dann gilt für alle [mm] x\in[0,1] [/mm] :
[mm] |f_{n}(x)-f(x)|\le|a_{n}*|x^{2}+|b_{n}|
[/mm]
[mm] |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] = [mm] |a_{n}*x^{2}+b_{n}| [/mm] und [mm] \overbrace{n\ge N(\varepsilon)}^{x^{2}}
[/mm]
P.S.: Soweit ich dies verstanden habe, sollte der Beweis in deinen zwei Beiträgen bereits vollbracht sein. Danke schon einmal dafür.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Di 17.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Beweis : Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] dann gilt für alle [mm]x\in[0,1][/mm] :
>
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|\le|a_{n}*|x^{2}+|b_{n}|[/mm]
>
>
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|[/mm] = [mm]|a_{n}*x^{2}+b_{n}|[/mm] und
[mm]\overbrace{n\ge N(\varepsilon)}^{x^{2}}[/mm]
Was soll das denn ?? Wenn Ihr das in der Übung wirklich so gemacht habt, ist der Übungsleiter ein Vollpfosten !!!
>
> P.S.: Soweit ich dies verstanden habe, sollte der Beweis in
> deinen zwei Beiträgen bereits vollbracht sein.
Ja, es ist vollbracht
FRED
> Danke schon
> einmal dafür.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Di 17.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Könntest du bitte eine Antwort auf meinen andere Frage im anderen Thread antworten? Hatten schon angefangen, aber leider noch nicht vollendet.
Danke. Diese Frage hier ist gelöst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Di 17.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Könntest du bitte eine Antwort auf meinen andere Frage im
> anderen Thread antworten? Hatten schon angefangen, aber
> leider noch nicht vollendet.
Hab ich gemacht
FRED
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> Danke. Diese Frage hier ist gelöst.
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