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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Gessner |
| Aufgabe | Sei [mm] u:R^3->R [/mm] in Zylinderkoordinaten gegeben. Leiten Sie
[mm] \Delta u=\bruch{\partial^2 u}{\partial p^2}+\bruch{\partial u}{p*\partial p}+\bruch{\partial^2 u}{p^2*\partial \alpha^2}+\bruch{\partial^2 u}{\partial z^2} [/mm] her. |
Hallo hallo!
Versuch mich jetzt schon seit Stunden an diese Aufgabe (leider kein Witz), komme aber leider nicht weiter.
Was ich bisher habe:
Es gilt [mm] ja:\Delta [/mm] u=div*grad u. Somit
[mm] div(\vektor{\bruch{\partial f}{\partial x}*cos\alpha+ \bruch{\partial f}{\partial y}*sin\alpha \\ -p*\bruch{\partial f}{\partial x}*sin\alpha+ p*\bruch{\partial f}{\partial y}*cos\alpha \\ \bruch{\partial f}{\partial z}}. [/mm] Das war es leider auch schon. Naja, wenn ich jetzt die Divergenz betrachte, kommt nur Quark raus. Zudem ist mein letzte Term nicht [mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial z^2} [/mm] sonder [mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial^2 z}. [/mm] Verstehe nur Bahnhof.
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
mfg,
Geessner
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]u:R^3->R[/mm] in Zylinderkoordinaten gegeben. Leiten Sie
> [mm]\Delta u=\bruch{\partial^2 u}{\partial p^2}+\bruch{\partial u}{p*\partial p}+\bruch{\partial^2 u}{p^2*\partial \alpha^2}+\bruch{\partial^2 u}{\partial z^2}[/mm]
> her.
> Hallo hallo!
>
> Versuch mich jetzt schon seit Stunden an diese Aufgabe
> (leider kein Witz), komme aber leider nicht weiter.
> Was ich bisher habe:
> Es gilt [mm]ja:\Delta[/mm] u=div*grad u. Somit
> [mm]div(\vektor{\bruch{\partial f}{\partial x}*cos\alpha+ \bruch{\partial f}{\partial y}*sin\alpha \\ -p*\bruch{\partial f}{\partial x}*sin\alpha+ p*\bruch{\partial f}{\partial y}*cos\alpha \\ \bruch{\partial f}{\partial z}}.[/mm]
> Das war es leider auch schon.
Prima, es stimmt schon mal
> Naja, wenn ich jetzt die
> Divergenz betrachte, kommt nur Quark raus.
Dann rechne doch mal vor, dann können wir sehen, wo es klemmt.
> Zudem ist mein
> letzte Term nicht [mm]\bruch{\partial^2 u}{\partial z^2}[/mm] sonder
> [mm]\bruch{\partial^2 u}{\partial^2 z}.[/mm]
Das sind beides bezeichnungen für ein und dasselbe: die partielle Ableitung [mm] u_{zz}
[/mm]
FRED
Verstehe nur Bahnhof.
> Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
> mfg,
>
> Geessner
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Gessner |
Vielen Dank für die Antwort.
Mein Versuch:
[mm] div(\vektor{\bruch{\partial f}{\partial x}*cos\alpha+ \bruch{\partial f}{\partial y}*sin\alpha \\ -p*\bruch{\partial f}{\partial x}*sin\alpha+ p*\bruch{\partial f}{\partial y}*cos\alpha \\ \bruch{\partial f}{\partial z}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\partial (\bruch{\partial f}{\partial x}*cos\alpha+ \bruch{\partial f}{\partial y}*sin\alpha)}{\partial x}*cos\alpha+ \bruch{\partial (-p*\bruch{\partial f}{\partial x}*sin\alpha+ p*\bruch{\partial f}{\partial y}*cos\alpha)}{\partial y}*sin\alpha [/mm] + [mm] -p*\bruch{\partial \bruch{\partial f}{\partial x}*cos\alpha+ \bruch{\partial f}{\partial y}*sin\alpha}{\partial x}*sin\alpha+ p*\bruch{\partial (-p*\bruch{\partial f}{\partial x}*sin\alpha+ p*\bruch{\partial f}{\partial y}*cos\alpha )}{\partial y}*cos\alpha [/mm] + [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial^2 z}.
[/mm]
mfg,
Gessner
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Hallo Gessner,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Vielen Dank für die Antwort.
> Mein Versuch:
>
> [mm]div(\vektor{\bruch{\partial f}{\partial x}*cos\alpha+ \bruch{\partial f}{\partial y}*sin\alpha \\ -p*\bruch{\partial f}{\partial x}*sin\alpha+ p*\bruch{\partial f}{\partial y}*cos\alpha \\ \bruch{\partial f}{\partial z}}[/mm]
Hier betrachtest Du doch die Funktion:
[mm]u\left( p\left(x,y\right), \ \alpha\left(x,y\right), z \ \right)[/mm]
Damit ergibt sich der Gradient zu:
[mm]\pmat{ \bruch{\partial u}{\partial p}*\bruch{\partial p}{\partial x}+\bruch{\partial u}{\partial \alpha}*\bruch{\partial \alpha}{\partial x} \\ \bruch{\partial u}{\partial p}*\bruch{\partial p}{\partial y}+\bruch{\partial u}{\partial \alpha}*\bruch{\partial \alpha}{\partial y} \\ \bruch{\partial u}{\partial z}}[/mm]
Davon sollst Du jetzt die Divergenz bilden,
was auch die Bestimmung von [mm]p_{x}, \ p_{y},\ \alpha_{x}, \ \alpha_{y}, \ p_{xx}, \ p_{xy}, \ p_{yy},\ \alpha_{xx}, \ \alpha_{xy}, \ \alpha_{yy}[/mm] erfordert.
>
> [mm]=\bruch{\partial (\bruch{\partial f}{\partial x}*cos\alpha+ \bruch{\partial f}{\partial y}*sin\alpha)}{\partial x}*cos\alpha+ \bruch{\partial (-p*\bruch{\partial f}{\partial x}*sin\alpha+ p*\bruch{\partial f}{\partial y}*cos\alpha)}{\partial y}*sin\alpha[/mm]
> + [mm]-p*\bruch{\partial \bruch{\partial f}{\partial x}*cos\alpha+ \bruch{\partial f}{\partial y}*sin\alpha}{\partial x}*sin\alpha+ p*\bruch{\partial (-p*\bruch{\partial f}{\partial x}*sin\alpha+ p*\bruch{\partial f}{\partial y}*cos\alpha )}{\partial y}*cos\alpha[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial^2 z}.[/mm]
>
Alternativ kannst Du die folgende Funktion betrachten:
[mm]u\left( \ x\left(p,\alpha\right),\ y\left(p,\alpha\right) , \ z \right)=u\left(p,\alpha,z\right)[/mm]
Differenzierst diese zweimal partiell nach p und [mm]\alpha[/mm] und löst
dann das entstehende Gleichungssystem nach
[mm]u_{x}, \ u_{y}, \ u_{xx}, \ u_{xy}, \ u_{yy}[/mm] auf.
>
> mfg,
>
> Gessner
Gruss
MathePower
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