Beweis Leibnizformel < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mi 30.04.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in (n\times [/mm] n, K) eine Matrix mit zugehörigem charakteristischen Polynom [mm] p_{A}(t)=c_{n}*t^n+...+c_{1}*t+c_{0}.
[/mm]
Wir definieren die Spur einer Matrix [mm] A=(a_{ij}) [/mm] als die Summe ihrer Diagonalelemente tr(A):= [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{ii}.
[/mm]
Zeigen Sie mit Hilfe der Leibnizformel, dass der Koeffizient [mm] c_{n-1} [/mm] im charakteristischen Polynom gerade [mm] (-1)^{n-1}*tr(A) [/mm] ist. |
Hallo,
ich komme bei der Aufgabe irgendwie nicht weiter. Ich habe mir nochmal die Formel angeguckt und auch verstanden wie man die Determinante damit ausrechnet, aber wie rechne ich damit jetzt ein speziellen Koeffizienten aus?
Kann mir jemand mal einen Denkanstoß geben?
Vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 Do 01.05.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Der Koeffizient [mm] c_{n-1} [/mm] steht vor dem [mm] t^{n-1}.
[/mm]
Du musst also schauen bei welchen Berechnungen für die Determinate Terme mit [mm] t^{n-1} [/mm] entstehen.
Schreibe dir mal eine 3x3-Matrix A-t*Id auf und achte bei der Berechnung der Determinate besonders auf Terme mit [mm] t^2. [/mm] Woher kommen sie ? Kann man das verallgemeinern ?
Ciao.
|
|
|
| |
|
Hallo, ich sitze vor dem selben Beweis und habe auch eine Frage dazu ;)
Also, Terme, in denen t-1 entstehen, gibt es bei Berechnung einer beliebigen Matrix nur dann, wenn die Permutation folgendermaßen aussieht:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & (...) & n \\ 1 & 2 & 3 & 4 & (...) & n}
[/mm]
(denn ich brauche mindestens n-1 diagonalelemente, und dies erfüllt nur diese Permutation)
Somit brauche ich auch nur den Summanden Betrachten, der für diese Permutation entsteht. Erstmal ist das Signum dieser Permutation 1, denn es gibt keine Fehlstände, also ergibt sich folgender Term: (für bel. Matrix A = aij):
(a11 - t)*(a22-t)*...*(ann - t)
so, nun muss sich daraus aber ergeben, dass (-1)^(n-1) * (a11 + a22 + ... + ann) * t^(n-1) gilt.
Und hier komm ich nun nicht wirklich weiter. Wie kann ich das denn jetzt zeigen? Weil ich kann ja nicht für beliebig viele Faktoren das ganze ausrechnen, um es zu zeigen.
Oder kann ich nun einfach sagen, dass sich das daraus ergibt? (denn klar ist es mir auch, aber ich kann es nicht erklären...)
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus, die_conny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
In den Produkt
(a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd
bestehen die Summanden immer aus einem Teil des ersten Faktor und einem Teil des Zweiten.
Das gilt auch verallgemeinert für :
[mm] (a_1+a_2)*(b_1+b_2)*...*(z_1+z_2)=\summe a_{i_1}*b_{i_2}*...*z_{i_n},
[/mm]
wobei [mm] i_j\in\{1,2\} \forall j\in\{1,...,n\}.
[/mm]
Ciao.
|
|
|
|
