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Forum "Uni-Analysis" - Beweis Limes sup/inf
Beweis Limes sup/inf < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis Limes sup/inf: Frage
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 12:27 Mi 17.11.2004
Autor: spirit

Kann mir jemand bei folgende Aufgabe helfen?
Ich habe auch im Internet nichts darüber gefunden und selbst keine funktionierende Idee.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

seien (an), (bn) Folgen in [mm] \IR [/mm] . Beweisen oder widerlegen:
a) lim sup (an + bn) = lim sup an + lim sup bn
b) lim sup (an + bn) [mm] \le [/mm] lim sup an + lim sup bn
c) lim inf(an + bn) [mm] \le [/mm] lim inf an + lim infbn

        
Bezug
Beweis Limes sup/inf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:40 Mi 17.11.2004
Autor: steelscout

Weiter unten gab's ne ähnliche Frage,
Die Antwort findest du bei uni-protokolle.de im Matheforum unter dem Threadnamen "Supremum".

Bezug
        
Bezug
Beweis Limes sup/inf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Mi 17.11.2004
Autor: igelkind

Ich hoffe mal, dass das stimmt, was ich rausgekriegt hab:

Zu a) Das stimmt nicht, kannst du einfach ein Gegenbeispiel geben:

an = sin n
bn = cos n

sup an = 1, die obere Schranke der Sinusfunktion
sup bn = 1, genauso, bloß für cosinus

sup an + sup bn = 2

sup (cos n + sin n) = [mm] \wurzel{2}, [/mm] also kleiner als 2.
=> Widerspruch

zu b)

Behauptung: lim sup (an + bn)  [mm] \le [/mm] lim sup an + lim sup bn

Im § 9, Seite 88 im Buch Analysis 1 von Forster (das Liebligsbuch von meinem Analysisprofesser Voigt), steht drin:

Def: lim sup an := lim (sup [ak : k  [mm] \ge [/mm] n] )

Also ergibt sich aus der Behauptung:

lim ( sup [ ak + bk ]  [mm] \le [/mm] lim (sup [ak] ) + lim (sup [bk] ) ; für alle k  [mm] \ge [/mm] n

Mit den Grenzwertsätzen ergibt sich dann:

lim (sup [ak + bk] [mm] \le [/mm] lim ( sup [ak] + sup [bk]) ; für alle k  [mm] \ge [/mm] n

gilt aber nur dann, wenn gleichzeitig:

sup [ak + bk] [mm] \le [/mm] sup [ak] + sup [bk] ; für alle k  [mm] \ge [/mm] n

Weiter bin ich nicht gekommen, aber der letzten Ausdruck ist ein Satz, der schonmal von jemanden bewiesen wurde.
Und jeder schon bewiesene Satz kann zum Beweisen von neuen Sätzen herangezogen werden.

w. z. b. w.

c)

Behauptung: lim inf (an + bn) [mm] \le [/mm] lim inf (an) + lim inf (bn)

analog zu b) ergibt sich:

inf (ak + bk) [mm] \le [/mm] inf ak + inf bk; für alle k  [mm] \ge [/mm] n

Aber das geht wieder einfacher:

an = sin n
bn = cos n

inf an = -1
inf bn = -1

inf (an + bn) = - [mm] \wurzel{2} [/mm]

- [mm] \wurzel{2} [/mm] ist aber größer als -2, es soll aber kleiner gleich sein.
=> Widerspruch

Bezug
                
Bezug
Beweis Limes sup/inf: Einfacheres Gegenbeisp. zu a)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:05 Mi 17.11.2004
Autor: Marcel

Hallo,

ich habe fast keine Zeit, aber ein noch einfacheres Gegenbeispiel zu a):
Definiere die Folgen [mm] $(a_n)_{n \in \IN} \in \IR^{\IN}$ [/mm] durch [mm] $a_n:=(-1)^n$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n \in \IN} \in \IR^{\IN}$ [/mm] durch [mm] $b_n:=(-1)^{n+1}$. [/mm]

Offenbar gilt
[m]a_n+b_n=(-1)^n+(-1)^{n+1}=(-1)^n+(-1)*(-1)^n=(-1)^n-(-1)^n=0$ $\;\;\forall n \in \IN[/m], und damit:
[mm] $\limsup_{n \to \infty} {\;(a_n+b_n)}=0$, [/mm] aber
[mm] $\limsup_{n \to \infty} {\;a_n}=\limsup_{n \to \infty} {\;b_n}=1$, [/mm] und damit:
[m]\limsup_{n \to \infty} {\;a_n}+\limsup_{n \to \infty} {\;b_n}=1+1=2\not=0=\limsup_{n \to \infty} {\;(a_n+b_n)}[/m]

Viele Grüße,
Marcel

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