Beweis Lineare unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Di 27.10.2009 | | Autor: | tobster |
| Aufgabe | Sei K = R und V = {f: R-> R }
Beweisen Sie dass
S:={1, cos(nx), sin(nx) |n [mm] \in \IN [/mm] } linear unabhängig ist.
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Hallo,
brauche mal wieder etwas Hilfe.
Als Tipp zur obigen Aufgabe haben wir mitbekommen, dass wir dies mit Ingration lösen sollen.
Mir ist irgendwie schon klar, dass es linear unabhängig sein muss, aber wie soll ich es beweisen?!
Meine Gedanken zur Aufgabe:
Um zu zeigen, dass S linear unabhängig ist, muss ich ja zeigen, dass die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors folgende ist:
[mm] \lambda_{1} * 1 + \lambda_{2} * cos(nx) + \lambda_{3} * sin (x) = 0 [/mm]
Wobei dann nur Lambda 0 sein kann, damit es linear unabhängig ist. Ich könnte ja auch zeigen, dass man 1 nicht als Linearkombination aus cos(nx) und sin(nx) darstellen kann oder?
Aber was soll mir die Integration helfen? Wäre nett, wenn mir jemand helfen kann (Tipp geben oder so) um etwas Licht ins Dunkel zu bringen...
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei K = R und V = {f: R-> R }
> Beweisen Sie dass
> S:={1, cos(nx), sin(nx) |n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} linear unabhängig
> ist.
>
> Hallo,
>
> brauche mal wieder etwas Hilfe.
> Als Tipp zur obigen Aufgabe haben wir mitbekommen, dass wir
> dies mit Ingration lösen sollen.
EDIT: Ich habe gerade (nach der Lektüre von Felix' Antwort) gesehen, daß ich hier auf eine andere Frage geantwortet habe als auf die gestellte, nämlich darauf, ob für n\in \IN die dreielementige Menge \{1,sin(nx), cos(nx)\} linear unabhängig ist.
Vielleicht ist mein Beitrag trotzdem dem einen oder anderen nützlich.
Hallo,
integrieren würde ich hier nicht.
> Mir ist irgendwie schon klar, dass es linear unabhängig
> sein muss,
Echt? Warum ist Dir das klar?
> Meine Gedanken zur Aufgabe:
> Um zu zeigen, dass S linear unabhängig ist, muss ich ja
> zeigen, dass die einzig mögliche Darstellung des
> Nullvektors folgende ist:
>
> [mm]\lambda_{1} * 1 + \lambda_{2} * cos(nx) + \lambda_{3} * sin (nx) = 0[/mm]
>
> Wobei dann nur Lambda 0 sein kann, damit es linear
> unabhängig ist.
Genau.
Mir fallen zwei Möglichkeiten ein:
1. Wenn die Nullfunktion und [mm] lambda_{1} [/mm] * 1 + [mm] \lambda_{2} [/mm] * cos(nx) + [mm] \lambda_{3} [/mm] * sin (nx) gleich sind, sind sie das an jeder Stelle des Definitionsbereiches, also für jedes x welches ich mir ausdenke.
Sie sind also insbesondere gleich an den Stellen [mm] x_1=0, x_2=\bruch{\pi}{2n} [/mm] und [mm] x_3:=\bruch{\pi}{n}.
[/mm]
Daraus ergeben sich ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen [mm] \lambda_i, [/mm] welces man lösen kann.
2. Ableiten. Jeweils die Funktion und ihre 1. und 2. Ableitungen an der Stelle 0 betrachten.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
> Sei K = R und V = {f: R-> R }
> Beweisen Sie dass
> S:={1, cos(nx), sin(nx) |n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} linear unabhängig
> ist.
>
> Hallo,
>
> brauche mal wieder etwas Hilfe.
> Als Tipp zur obigen Aufgabe haben wir mitbekommen, dass wir
> dies mit Ingration lösen sollen.
> Mir ist irgendwie schon klar, dass es linear unabhängig
> sein muss, aber wie soll ich es beweisen?!
>
> Meine Gedanken zur Aufgabe:
> Um zu zeigen, dass S linear unabhängig ist, muss ich ja
> zeigen, dass die einzig mögliche Darstellung des
> Nullvektors folgende ist:
>
> [mm]\lambda_{1} * 1 + \lambda_{2} * cos(nx) + \lambda_{3} * sin (x) = 0[/mm]
Erstmal: du wollst da [mm] $\sin(nx)$ [/mm] und nicht [mm] $\sin(x)$ [/mm] stehen haben, nicht?
Weiterhin: diese Gleichung anzuschauen reicht nicht aus. Du kannst verschiedene Werte fuer $n$ gleichzeitig haben.
Du musst eine allgemeinere Gleichung anschauen, naemlich sowas wie [mm] $\lambda [/mm] * x + [mm] \sum_{n=1}^\infty (\lambda_{n,1} \sin(n [/mm] x) + [mm] \lambda_{n,2} \cos(n [/mm] x)) = 0$ mit [mm] $\lambda, \lambda_{n,1}, \lambda_{n,2} \in \IR$ [/mm] mit nur endlich vielen ungleich 0.
Zu jedem solchen Koeffizientensystem [mm] $(\lambda, (\lambda_{n,1}, \lambda_{n,2})_{n\in\IN})$ [/mm] kannst du jetzt [mm] $n_0 [/mm] := [mm] \max\{ n \mid \lambda_{n,1} \neq 0 \text{ oder } \lambda_{n,2} \neq 0 \} \in \IN_{>0} \cup \{ -\infty \}$ [/mm] anschauen, und dir ein solches Waehlen mit [mm] $n_0 \neq -\infty$, [/mm] fuer das [mm] $n_0$ [/mm] minimal ist (angenommen es gibt ein solches -- falls es kein solches gibt, ist $S$ linear unabhaengig).
Jetzt integriere die Gleichung [mm] $\lambda [/mm] * x + [mm] \sum_{n=1}^\infty (\lambda_{n,1} \sin(n [/mm] x) + [mm] \lambda_{n,2} \cos(n [/mm] x)) = 0$ doch mal, sagen wir von 0 bis $x$. Anhand der neuen Gleichung siehst du, dass [mm] $\lambda [/mm] = 0$ sein muss: der Rest der Gleichung ist naemlich beschraenkt (unabhaengig von $x$, da [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] nur Bilder in $[-1, 1]$ annehmen), waehrend die Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] x$ nicht beschraenkt ist.
Den Teil vorne kannst du also ignorieren.
Wenn du die Gleichung nun ein zweites mal integrierst, ist sie bis auf's Vorzeichen und veraenderten Koeffizienten gleich der urspruenglichen Gleichung (beachte dass [mm] $\lambda [/mm] = 0$ ist). Wenn du jetzt ein passendes Vielfaches der einen Gleichung von der anderen abziehst, fallen [mm] $\sin(n_0 [/mm] x)$ und [mm] $\cos(n_0 [/mm] x)$ weg -- du hast also eine Gleichung mit [mm] $\max\{ n \mid \lambda_{n,1}' \neq 0 \text{ oder } \lambda_{n,2}' \neq 0 \} [/mm] < [mm] n_0$. [/mm] Da [mm] $n_0$ [/mm] minimal gewaehlt war, muss [mm] $\lambda_{n,i}' [/mm] = 0$ sein fuer alle $n$ und $i [mm] \in \{ 1, 2 \}$. [/mm] Daraus wiederum kannst du Rueckschluesse auf die [mm] $\lambda_{n,i}$ [/mm] fuehren: alle (ausser eventuell fuer $n = [mm] n_0$) [/mm] muessen 0 sein.
Dass auch [mm] $\lambda_{n_0,1}$ [/mm] und [mm] $\lambda_{n_0,2}$ [/mm] gleich 0 sein muessen folgt dann so, wie Angela es vorgemacht hat.
LG Felix
PS: Man haette hier anstelle Integrieren auch genausogut Differenzieren koennen -- damit waere es sogar noch etwas einfacher.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Di 27.10.2009 | | Autor: | tobster |
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
Leider ist mir einiges noch nicht ganz klar, weiß nicht ob es an mir liegt oder einfach daran dass wir es (habe jetzt grade mal seit 2 Wochen LA) so schlecht in der Uni vermittelt bekommen.
So, nun zur Aufgabe:
Ja, hast natürlich recht sollte sin (nx) stehen.
Den Ansatz habe ich auch verstanden, es reicht eben nicht nur zu zeigen dass:
[mm]
\lambda_{1} \cdot{} 1 + \lambda_{2} \cdot{} cos(nx) + \lambda_{3} \cdot{} sin (x) = 0 [/mm]
da n verschiedene Werte gleichzeitig annehmen kann, das habe ich verstanden.
Also muss ich ja zeigen, dass es für alle n gilt, was Du dann mit dem Summenzeichen dargestellt hast.
Ganz blöde Frage vielleicht zuerst, warum schreibst Du immer: [mm] \lambda_{n,1} [/mm] Hat es einen Grund, dass dort 1 und beim anderen 2 steht oder ist es nur um zu verdeutlichen, dass n1 und n2 unterschiedlich sind?
Dann weiter, du schreibst:
[mm] n_0 := \max\{ n \mid \lambda_{n,1} \neq 0 \text{ oder } \lambda_{n,2} \neq 0 \} \in \IN_{>0} \cup \{ -\infty \} [/mm]
Warum wird die Menge vereinnigt mit Minus unendlich? Kannst Du mir vielleicht diesen Term näher erläutern? Dann wird mir vielleicht auch klar, warum die Integration hilfreich ist...
Vielen Dank im Voraus für die nette Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Leider ist mir einiges noch nicht ganz klar, weiß nicht ob
> es an mir liegt oder einfach daran dass wir es (habe jetzt
> grade mal seit 2 Wochen LA) so schlecht in der Uni
> vermittelt bekommen.
>
> So, nun zur Aufgabe:
> Ja, hast natürlich recht sollte sin (nx) stehen.
> Den Ansatz habe ich auch verstanden, es reicht eben nicht
> nur zu zeigen dass:
> [mm]
\lambda_{1} \cdot{} 1 + \lambda_{2} \cdot{} cos(nx) + \lambda_{3} \cdot{} sin (x) = 0[/mm]
>
> da n verschiedene Werte gleichzeitig annehmen kann, das
> habe ich verstanden.
> Also muss ich ja zeigen, dass es für alle n gilt, was Du
> dann mit dem Summenzeichen dargestellt hast.
Genau.
> Ganz blöde Frage vielleicht zuerst, warum schreibst Du
> immer: [mm]\lambda_{n,1}[/mm] Hat es einen Grund, dass dort 1 und
> beim anderen 2 steht oder ist es nur um zu verdeutlichen,
> dass n1 und n2 unterschiedlich sind?
Fuer jedes $n$ koennen die Koeffizienten [mm] $\lambda_{n,1}$ [/mm] und [mm] $\lambda_{n,2}$ [/mm] von [mm] $\sin(n [/mm] x)$ und [mm] $\cos(n [/mm] x)$ ja verschieden sein. Deswegen bekommen sie verschiedene Indices, die das $n$ enthalten und auch eine 1 bzw. 2 um zu sagen, ob es der Koeffizient vom Sinus-Term oder vom Kosinus-Term ist.
Ich haette die Koeffizienten auch genausogut [mm] $\lambda_n$ [/mm] und [mm] $\mu_n$ [/mm] nennen koennen, also sowas wie [mm] $\lambda [/mm] * 1 + [mm] \sum_{n=1}^\infty (\lambda_n \sin(n [/mm] x) + [mm] \mu_n \cos(n [/mm] x))$.
> Dann weiter, du schreibst:
> [mm]n_0 := \max\{ n \mid \lambda_{n,1} \neq 0 \text{ oder } \lambda_{n,2} \neq 0 \} \in \IN_{>0} \cup \{ -\infty \}[/mm]
>
> Warum wird die Menge vereinnigt mit Minus unendlich? Kannst
> Du mir vielleicht diesen Term näher erläutern? Dann wird
> mir vielleicht auch klar, warum die Integration hilfreich
> ist...
Wenn alle [mm] $\lambda_{n,i}$ [/mm] gleich 0 sind (das dies der Fall ist willst du ja zeigen), dann steht da ja [mm] $n_0 [/mm] := [mm] \max \emptyset$. [/mm] Das Maximum der leeren Menge gibt es nicht (insb. ist es keine natuerliche Zahl), aber man definiert es sich manchmal gern als [mm] $-\infty$. [/mm] Das wollte ich hiermit andeuten.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Do 29.10.2009 | | Autor: | v0nny |
hey muss die aufgabe auch bearbeiten und hab auch mal eine frage:
also beim integrieren muss ich ja quasi die stammfunktion bilden aber wie bilde ich denn die stammfunktion von $ [mm] \lambda \cdot{} [/mm] x + [mm] \sum_{n=1}^\infty (\lambda_{n,1} \sin(n [/mm] x) + [mm] \lambda_{n,2} \cos(n [/mm] x)) = 0 $ ?
oder wie intergriere ich am besten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Do 29.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> hey muss die aufgabe auch bearbeiten und hab auch mal eine
> frage:
> also beim integrieren muss ich ja quasi die stammfunktion
> bilden aber wie bilde ich denn die stammfunktion von
> [mm]\lambda \cdot{} x + \sum_{n=1}^\infty (\lambda_{n,1} \sin(n x) + \lambda_{n,2} \cos(n x)) = 0[/mm]
> ?
> oder wie intergriere ich am besten?
Du darfst das Integral hinter die Summe ziehen, denn es sind nur höchstens endlich viele [mm] \lambda_{n,1} [/mm] und [mm] \lambda_{n,2} [/mm] ungleich 0
FRED
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