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Forum "Lineare Abbildungen" - Beweis Lösungsmenge
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Beweis Lösungsmenge: Hilfe bei der Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 So 19.06.2016
Autor: freaksport

Aufgabe
Sei Aˆ = (A, b) die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystem
mit einer m × n-Matrix A und b ∈ R
m und sei L(Aˆ) die Lösungsmenge von Aˆ, bzw. L(A) die Lösungsmenge von A = (A, 0).

Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:

a) L(Aˆ) = ∅, falls b als Spalte in A auftritt.

b) L(Aˆ) = ∅, falls m < n.

c) L(Aˆ) besteht aus genau einem Element, falls m = n.

d) Sind x, y ∈ L(A), dann ist auch x + y ∈ L(A).

Ich bräuchte bette generell Hilfe beim lösen der Aufgabe.

Mein Ansatz aus der Aufgabenstellung ist:

A^= bel. erweiterte Matrix mit einem Ergebis (ungleich Nullvektor)
die Lösungsmenge ist dann wieder eine Matrix mit Nullvektor als Ergebis

(eine Verständnisfrage wäre: wie ermittelt sich die Lösungsmenge?)



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Beweis Lösungsmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 So 19.06.2016
Autor: Stala

Hallo,

mit deinem Ansatz kann ich irgendwie nichts anfangen.

Um eine Aussage zu widerlegen, musst du nur ein Beispiel finden, welches der Aussagen wider spricht.

Versuche als mal für Aussage 1 eine Matrix A zu finden, die b als Spalte enthält und das LGS A * x = b trotzdem eine Lösung hat. Dieses Beispiel würde die Aussage widerlegen.

das machst du für alle Aussagen. Wenn du irgendwo mekrst, dass du hier keine Gegenbeispiel finden kannst, musst du die Aussage beweisen. Das wird dir bei Punkt 4 begegnen...

Die Lösungsmenge eines Gleichungssystems enthält alle möglichen Lösungen des Gleichungssystems. Wie man ein LGS konkret berechnet und wie die Lösungsmenge aussieht, war sicher schon Teil der Vorlesung.

VG


Bezug
                
Bezug
Beweis Lösungsmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 So 19.06.2016
Autor: freaksport

dann wäre ja für 1)
zb:
1a + 2b = 2
2a + 3b = 3

a=0
b=1

somit ist die leere menge nicht gegeben, richtig ?

so wie du das jetzt formuliert haste, verstehe ich das so das ich für 1) bis 3)
Gegenbespiele finde und für 4) es beweisen muss

Bezug
                        
Bezug
Beweis Lösungsmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 So 19.06.2016
Autor: Stala

Ja, das kann man aus meiner Formulierung wohl herauslesen.

4 ist richtig.
Das Gegenbeispiel für 1 passt auch.

Für 2 und 3 was zu finden, dürfte ja nicht schwer sein.

VG

Bezug
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