Beweis Markov-Ungleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich hab ein Problem beim Beweis eines Satzes, den wir als ersten Teil der Chebyshevschen Ungleichung kennengelernt haben, der aber im Internet und in Büchern offenbar als Markov-Ungleichung bezeichnet wird.
In meinem Skript steht folgendes:
Satz 5.1 Chebyshevsche Ungleichung
(i) Für eine beliebige Zufallsgröße X und beliebiges [mm]a > 0[/mm] gilt [mm]P(|X| \ge a) \le \bruch{1}{a}E|X|[/mm]
Beweis: Da [mm]\I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}} \le \bruch{1}{a}|X|[/mm] folgt:
[mm]P(|X| \ge a) = E[\I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}}] \le \bruch{1}{a}|X| \le E[\bruch{|X|}{a}] = \bruch{1}{a}E|X|[/mm]
Ich versteh das letzte Ungleichungszeichen nicht. Wieso kann ich [mm]\bruch{1}{a}|X|[/mm] durch [mm]E[\bruch{|X|}{a}][/mm], also durch seinen Erwartungswert nach oben abschätzen?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Di 26.01.2016 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
ich setzte mich zur zeit mit dem Beweis auseinander. Den Beweis an sich habe ich verstanden, aber den eigentlichen Schritt:
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> Beweis: Da [mm]\I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}} \le \bruch{1}{a}|X|[/mm]
> folgt:
>
die Voraussetzung leider nicht. Warum gilt diese Ungleichung?
Ich freue mich über eine Antwort
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Hiho,
$ [mm] \I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}}$ [/mm] ist die Indikatorfunktion zu der Menge, auf der $|X| [mm] \ge [/mm] a$ ist. D.h. auf dieser Menge ist insbesondere [mm] $\frac{|X|}{a} \ge [/mm] 1$
Und damit:
$ [mm] \I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}} [/mm] = [mm] 1\cdot \I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}} \le \frac{|X|}{a} \cdot \I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}} \le \frac{|X|}{a}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Di 26.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich setzte mich zur zeit mit dem Beweis auseinander. Den
> Beweis an sich habe ich verstanden, aber den eigentlichen
> Schritt:
> >
> > Beweis: Da [mm]\I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}} \le \bruch{1}{a}|X|[/mm]
> > folgt:
> >
>
> die Voraussetzung leider nicht. Warum gilt diese
> Ungleichung?
>
> Ich freue mich über eine Antwort
>
Du kannst das auch punktweise einsehen: dazu setze ich $Y:=|X|$
Ist $Y(w)<a$, so ist [mm] 1_{\left\{ Y \ge a \right\}}(w)=0 [/mm] und somit ist die Ungl. in diesem Fall richtig.
Ist [mm] $Y(w)\ge [/mm] a$, so ist [mm] 1_{\left\{ Y \ge a \right\}}(w)=1 [/mm] und [mm] $(\bruch{1}{a}Y)(w) \ge [/mm] 1.$
FRED
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Huhu,
in dem Beweis fehlt in der Mitte einfach ein E, korrekt müsste er lauten:
[mm]P(|X| \ge a) = E[\I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}}] \le E[\bruch{1}{a}|X|] \le
E[\bruch{|X|}{a}] = \bruch{1}{a}E|X|[/mm]
Wobei die eine Ungleichung dann doppelt vorkommt......
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 So 15.08.2010 | | Autor: | Vuffi-Raa |
Stimmt, wenn man den Schritt einfach weglässt, macht das ja völlig Sinn.^^
Man muss dazu sagen, das Skript ist eine Mitschrift von Studenten, wahrscheinlich hat sich da einfach jemand vertan. Auf jeden Fall danke für die Hilfe. 
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