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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Di 03.11.2009 | | Autor: | dana_m |
| Aufgabe | Seien M, N und P Mengen. Weisen Sie die Gültigkeit der Identität
P x (M ∩ N) = (P x M) ∩ (P x N) nach. |
Hallo ihr Lieben...
Ich weiß, dass normalerweise beweisen muss, dass P x (M ∩ N) eine Teilmenge von (P x M) ∩ (P x N) ist und umgekehrt. Es handelt sich ja im Prinzip um das Distributivgesetz und ich habe solche Mengenbeweise wie M [mm] \cup [/mm] (N ∩ P) = (M [mm] \cup [/mm] N) ∩ (M [mm] \cup [/mm] P) schon durchgeführt. Allerdings nie mit diesem karteisischen Produkt. Das es sich hier um Produktmengen handelt, irritiert mich und ich weiß nicht wie ich meinen Beweis beginnen und führen muss...?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Seien M, N und P Mengen. Weisen Sie die Gültigkeit der
> Identität
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> P x (M ∩ N) = (P x M) ∩ (P x N) nach.
> Hallo ihr Lieben...
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> Ich weiß, dass normalerweise beweisen muss, dass P x (M
> ∩ N) eine Teilmenge von (P x M) ∩ (P x N) ist und
> umgekehrt. Es handelt sich ja im Prinzip um das
> Distributivgesetz und ich habe solche Mengenbeweise wie M
> [mm]\cup[/mm] (N ∩ P) = (M [mm]\cup[/mm] N) ∩ (M [mm]\cup[/mm] P) schon
> durchgeführt. Allerdings nie mit diesem karteisischen
> Produkt. Das es sich hier um Produktmengen handelt,
> irritiert mich und ich weiß nicht wie ich meinen Beweis
> beginnen und führen muss...?
Du musst fast genau so wie sonst vorgehen, nur ist eben jetzt [mm] $(x_{1},x_{2})\subset [/mm] P [mm] \times [/mm] (M [mm] \cap [/mm] N)$. Daraus folgt [mm] $x_{1}\in [/mm] P$ und [mm] $x_{2}\in M\cap [/mm] N$, d.h. [mm] $x_{2}\in [/mm] M$ und [mm] $x_{2}\in [/mm] N$. D.h. [mm] $(x_{1},x_{2})\in P\times [/mm] M$ und [mm] $(x_{1},x_{2})\in [/mm] P [mm] \times [/mm] N$, also [mm] $(x_{1},x_{2}) \in (P\times M)\cap (P\times [/mm] N)$.,
Nun kannst du die Rückrichtung probieren 
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:24 Mi 04.11.2009 | | Autor: | dana_m |
Wow vielen lieben Dank :)
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