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| Aufgabe | | Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung. |
Als Grundlage die Wikipedia-Def.:
"Es sei f: [a,b] [mm] \to \mathbb{R} [/mm] eine Funktion, die auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] (mit a < b) definiert und stetig ist. Außerdem sei die Funktion f im offenen Intervall (a,b) differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen gibt es mindestens ein [mm] x_0 \in [/mm] (a,b), so dass
[mm] f'\left(x_0\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}
[/mm]
gilt."
Nun ist mir der Satz von Rolle, der den Soderfall f(a)=f(b) behandelt, einigermaßen klar.
Dieser wird im Beweis zum allg. MWS verwendet:
(Wikipedia):
"Es sei eine Hilfsfunktion h: [a,b] [mm] \to \mathbb{R} [/mm] definiert, mit
[mm] h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
[/mm]
h ist stetig in [a,b] und in (a,b) differenzierbar. Es gilt h(b)=f(a)=h(a).
Nach dem Satz von Rolle existiert daher ein [mm] x_0\in [/mm] (a,b) mit [mm] h'\left(x_0\right)=0. [/mm] Da
[mm] h'(x_0)=f'(x_0)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
[/mm]
folgt die Behauptung."
Wie kommt denn diese Hilfsfunktion zustande und was kann ich mir darunter vorstellen?
Theoretisch könnte man doch "sowas wie eine Koordinatentransformation machen" (-> war noch nicht Teil des Stoffs) und die Achsen so drehen, dass der allgemeine Fall im Spezialfall nach Rolle mündet.
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Hiho,
> Theoretisch könnte man doch "sowas wie eine
> Koordinatentransformation machen" (-> war noch nicht Teil
> des Stoffs) und die Achsen so drehen, dass der allgemeine
> Fall im Spezialfall nach Rolle mündet.
ja und da das viel zu kompliziert ist (wer sagt dir, dass die Ableitungsregeln unter Koordinatentransformationen erhalten bleiben?) macht man anschaulich genau das, was du dir vermutlich eigentlich vorstellst.
Man nimmt die Funktion und "klappt" sie so um, dass f(a) und f(b) auf der x-Achse liegen.
Das macht man eben, in dem man die Gerade, die durch f(a) und f(b) geht, abzieht.
Mach dir eine Skizze, dann ist das recht schnell klar.
Man könnte auch sagen, dass man die Gerade, die durch f(a) und f(b) geht, als neue x-Achse definiert, also irgendwas transformiert.
Gruß,
Gono.
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