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| Aufgabe | Zeigen (beweisen) Sie formal, dass n + 1 die Nachfolgerfunktion n’ ist.
Zeigen Sie anschließend mittels vollst. Induktion, dass auch 1 + n den Nachfolger von n liefert. Nein, sie dürfen nicht das Kommutativgesetz verwenden! |
Hallo,
das ist mein erster Versuch eines Beweises und es hapert schon bei der Aufgabenstellung an dem Wort "formal". Was ist darunter zu verstehen?
Könntet ihr mir außerdem ein Paar Denkanstöße geben damit ich mal einen Punkt zum Anfangen habe?
Vielen Dank schon mal!
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Hallo!
> Zeigen (beweisen) Sie formal, dass n + 1 die
> Nachfolgerfunktion n’ ist.
> Zeigen Sie anschließend mittels vollst. Induktion, dass
> auch 1 + n den Nachfolger von n liefert. Nein, sie dürfen
> nicht das Kommutativgesetz verwenden!
> Hallo,
>
> das ist mein erster Versuch eines Beweises und es hapert
> schon bei der Aufgabenstellung an dem Wort "formal". Was
> ist darunter zu verstehen?
> Könntet ihr mir außerdem ein Paar Denkanstöße geben
> damit ich mal einen Punkt zum Anfangen habe?
>
> Vielen Dank schon mal!
Ich nehme an, ihr dürft nur die Peanoaxiome und die Definition der Addition verwenden? Nun, was sagt diese Definition? Sie sagt, dass 1 der Nachfolger der 0 ist und dass 0 zu addieren nichts tut. Weiterhin ist im Allgemeinen [mm] n+m'=(n+m)' [/mm]
Beim zweiten ist der Induktionsanfang klar (n=0) und beim Induktionsschritt brauchst du dann nur noch, dass n'' der Nachfolger von n' ist.
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Genau, die Peanoaxiome und die Definition der Addition war Thema in der letzten Vorlesung :)
Ich habe das jetzt so aufgeschrieben:
n‘ bezeichnet den Nachfolger von n, der aufgrund der Peano-Axiome eindeutig bestimmt ist. Da 1 der Nachfolger der 0 ist, gilt
n + 1 = n + 0‘ = (n + 0)‘ = n‘
Und die vollständige Induktion habe ich so aufgeschrieben:
Aussage: 1+n=n+1
Induktionsanfang: n= 0; 1+0=0+1
Induktionsschritt:
Induktionsvorraussetzung: 1+k=k+1
Induktionsbehauptung: 1+k + k+1 = k+1+k+1 = 2k+2
Beweis: 1+k+k+1=k+1+k+1 = 2k+2
Stimmt das oder hätte ich das nur mit n' bzw. n'' schreiben dürfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 11.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich wollte diesem Beitrag noch einmal Leben einhauchen, da ich weiterhin an einer Korrektur interessiert wäre.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:26 So 12.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo MatheSckell,
> n‘ bezeichnet den Nachfolger von n, der aufgrund der
> Peano-Axiome eindeutig bestimmt ist. Da 1 der Nachfolger
> der 0 ist, gilt
>
> n + 1 = n + 0‘ = (n + 0)‘ = n‘
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Schön!
> Und die vollständige Induktion habe ich so
> aufgeschrieben:
>
> Aussage: 1+n=n+1
>
> Induktionsanfang: n= 0; 1+0=0+1
Warum gilt $1+0=0+1$? Das solltest du vorrechnen.
> Induktionsschritt:
> Induktionsvorraussetzung: 1+k=k+1
> Induktionsbehauptung: 1+k + k+1 = k+1+k+1 = 2k+2
Wie kommst du auf diese Induktionsbehauptung?
Sie müsste $1+k'=k'+1$ lauten.
> Beweis: 1+k+k+1=k+1+k+1 = 2k+2
(Das wäre zu begründen.)
Viele Grüße
Tobias
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