Beweis Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine monoton fallende Nullfolge, [mm] a_{n}\ge [/mm] 0 und [mm] s_{n} [/mm] := [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k} a_{k}
[/mm]
Man zeige für m,n [mm] \in \IN [/mm] , [mm] m\ge [/mm] n :
[mm] |s_{m} [/mm] − [mm] s_{n}|\le a_{n}. [/mm] |
Hallo!
Ich hab emal ne Frage zu der obigen Aufgabe.
Ich weiss noch nicht ob ich überhaupt verstanden habe was ich das tun muss aber ich habe folgenden Ansatz :
[mm] |s_{m} [/mm] − [mm] s_{n}|\le a_{n} [/mm] = [mm] \vmat{ \summe_{k=0}^{m}(-1)^{k} a_{k} - \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k} a_{k}} \le a_{n} [/mm]
und jetzt weiß ich net genau weiter..
kann ich [mm] \vmat{ \summe_{k=0}^{m-n}(-1)^{k} a_{k} } \le a_{n} [/mm] das machen ?
und selbst dann...Ich dachte so an eine Fall unterscheidung m=n und m größer n.
Wäre nett wenn jmd mir da nen bisl weiterhelfen könnte.
Vielen Dank!
Grüße Charlie
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 So 27.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm](a_{n})[/mm] eine monoton fallende Nullfolge, [mm]a_{n}\ge[/mm] 0 und
> [mm]s_{n}[/mm] := [mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k} a_{k}[/mm]
>
> Man zeige für m,n [mm]\in \IN[/mm] , [mm]m\ge[/mm] n :
>
> [mm]|s_{m}[/mm] − [mm]s_{n}|\le a_{n}.[/mm]
> Hallo!
> Ich hab emal ne Frage zu der obigen Aufgabe.
> Ich weiss noch nicht ob ich überhaupt verstanden habe was
> ich das tun muss aber ich habe folgenden Ansatz :
>
> [mm]|s_{m}[/mm] − [mm]s_{n}|\le a_{n}[/mm] = [mm]\vmat{ \summe_{k=0}^{m}(-1)^{k} a_{k} - \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k} a_{k}} \le a_{n}[/mm]
>
>
> und jetzt weiß ich net genau weiter..
> kann ich [mm]\vmat{ \summe_{k=0}^{m-n}(-1)^{k} a_{k} } \le a_{n}[/mm]
> das machen ?
> und selbst dann...Ich dachte so an eine Fall
> unterscheidung m=n und m größer n.
>
> Wäre nett wenn jmd mir da nen bisl weiterhelfen könnte.
>
> Vielen Dank!
>
> Grüße Charlie
>
Hallo Charlie,
die Partialsummenfolge erzeugt eine Intervallschachtelung (Stichwort: Leibnizkriterium).
Das Intervall zwischen [mm] s_n [/mm] und [mm] s_{n-1} [/mm] hat gerade die Breite [mm] a_n, [/mm] und alle nachfolgenden Summen [mm] s_{n+k} [/mm] liegen innerhalb dieses Intervalls (das außerdem mit jedem weiteren Summanden noch schmaler wird).
Viele Grüße
Abakus
|
|
|
|
