Beweis Polynome p=q < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Sa 31.05.2008 | | Autor: | dk-netz |
| Aufgabe | Seien $p,q$ zwei Polynome über [mm] \IR [/mm] vom Grad [mm] $\leq [/mm] n$. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Rolle, dass genau dann $p=q$ gilt, wenn für $n+1$ verschiedene Punkte [mm] $x_i \in \IR$ [/mm] die Gleichung [mm] $p(x_i)=q(x_i)$ [/mm] gilt.
Satz von Rolle
Sei $f: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] eine stetige Funktion mit $f(a) = f(b)$. Ist $f$ zudem im offenen Intervall $(a,b)$ stetig differenzierbar, so existiert mindestens eine Stelle $c [mm] \in [/mm] (a,b)$ mit $f'(c) = 0$. |
Hallo,
hat jemand eine Idee, wie man bei der obigen Aufgabe anfängt? Ich sehe auch keinen Zusammenhang zwischen dem Satz und dem zu führenden Beweis.
Danke und Gruß
dk-netz
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Ich sehe auch keinen Zusammenhang zwischen dem
> Satz und dem zu führenden Beweis.
Hallo,
den Zusammenhang kannst Du herstellen, indem Du das Polynom f=p-q betrachtest.
Was ist [mm] f(x_i)?
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 So 01.06.2008 | | Autor: | dk-netz |
Hallo,
danke für die Antwort. Der Tipp hilft mir echt nicht weiter.
Wie macht man dann weiter?
> Was ist [mm]f(x_i)?[/mm]
Wo steht das, in der Aufgabe steht das doch garnicht.
Gruß
dk-netz
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> > Was ist [mm]f(x_i)?[/mm]
>
> Wo steht das, in der Aufgabe steht das doch garnicht.
Hallo,
das solltest Du ausrechnen können.
wir haben f:=p-q.
Was ist dann [mm] f(x_i) [/mm] ?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 So 01.06.2008 | | Autor: | dk-netz |
Hallo,
[mm] $f(x_i) [/mm] = 0$. Das bedeuted ja, dass an allen Stellen, an denen die Werte gleich sind, $f=0$ ist. Wie zeige ich jetzt, dass p=q gilt, wenn das an n+1 verschiedenen Stellen gilt?
Gruß
dk-netz
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> [mm]f(x_i) = 0[/mm].
Hallo,
genau so ist es.
Du hast nun ein Polynom (warum?) in der Hand, welches n+1 Nullstellen hat.
Mal so (nicht ganz) nebenbei: welchen Grad hat f eigentlich?
> Wie zeige ich jetzt,
> dass p=q gilt, wenn das an n+1 verschiedenen Stellen gilt?
Naja, vorrechnen wollte ich Dir das eigentlich nicht...
Du könntest jetzt aber mal versuchen, irgendwie mit dem Satz von Rolle, welchen Du ja verwenden sollst, zu zeigen, daß Dein Polynom f das Nullpolynom ist.
Ist Dir das gelungen, so hast Du die Lösung.
Gruß v. Angela
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