Beweis: Potenzen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Fr 25.11.2005 | | Autor: | Kati |
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Internetforum gestellt.
Hi!
Ich hab hier ein Problem mit einer Aufgabe...
Ich soll beweisen, dass für alle a [mm] \in \IR [/mm] \ {0} und alle j [mm] \in \IN [/mm] gilt:
( [mm] a^{-1} )^{1/j} [/mm] = ( [mm] a^{1/j} )^{-1}
[/mm]
Ich dachte ich versuchs mit ner vollständigen Induktion:
z. z. ( [mm] a^{-1} )^{1/j} [/mm] = [mm] a^{1/j * -1}
[/mm]
Induktionsanfang: sei j = 1, dann [mm] a^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1}
[/mm]
Induktionsschritt: j -> j+1
so... hier komm ich allerdings schon
nicht mehr weiter, ich weiß net was ich mit:
( [mm] a^{-1} )^{1/(j+1)} [/mm] anfangen soll...
Wäre nett wenn mir hier jemand weiter helfen könnte oder falls dieser Beweisweg der falsche ist einen anderen zeigen könnte...
Gruß kati
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Hallo Kati!
Hier würde ich ganz ohne vollständige Induktion vorgehen ... sondern nur mit den Definitionen der Potenzen bzw. den  Potenzgesetzen:
[mm] $\left(a^{-1}\right)^{\bruch{1}{j}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[j]{a^{-1} \ } [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[j]{\bruch{1}{a} \ } [/mm] \ = \ ...$
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Fr 25.11.2005 | | Autor: | Kati |
Ja.... aber ich bin mir net so sicher ob wir die schon hatten, dh. ob ich die hier anwenden darf... geht das net auch irgendwie anders?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Fr 25.11.2005 | | Autor: | saxneat |
Tach Kati!
Solltet ihr die Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus schon eingeführt haben geht das natürlich auch so:
[mm] a^{x}=e^{x*ln(a)}
[/mm]
desweiteren gilt:
[mm] ln(a^{x})=x*ln(a)
[/mm]
also:
[mm] (a^{-1})^{\bruch{1}{j}}=e^{\bruch{1}{j}*ln(a^{-1})}=e^{-1*\bruch{1}{j}*ln(a)}=e^{-1*ln(a^{\bruch{1}{j}})}=(a^{\bruch{1}{j}})^{-1}
[/mm]
MfG
saxneat
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