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| Aufgabe | A und B seien beliebige Mengen. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
(a) [mm] \mathcal{P}(A \cup [/mm] B) [mm] \subseteq \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)
[/mm]
(b) [mm] \mathcal{P}(A \cup [/mm] B) = [mm] \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)
[/mm]
(c) [mm] \mathcal{P}(A \cup [/mm] B) [mm] \supseteq \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)
[/mm]
(d) [mm] \mathcal{P}(A \times [/mm] B) [mm] \subseteq \mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B)
[/mm]
(e) [mm] \mathcal{P}(A \times [/mm] B) = [mm] \mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B)
[/mm]
(f) [mm] \mathcal{P}(A \times [/mm] B) [mm] \supseteq \mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B) [/mm] |
Hallo liebe comunity,
ich habe diese Aufgabe bekommen.
Anhand von Beispielen weiß ich auch welche Aussagen stimmen.
Bei näheren hinsehen komme ich auf:
[mm] \mathcal{P}(A \cup [/mm] B) = {{Xi}: [mm] i\in [/mm] I, [mm] Xi\subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] B }
= {{Xi}: [mm] i\in [/mm] I, [mm] Xi\subseteq A\backslash [/mm] B [mm] \vee Xi\subseteq B\backslash [/mm] A [mm] \vee Xi\subseteq A\cap [/mm] B}
und auf:
[mm] \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) [/mm]
= {{Xi}: [mm] i\in [/mm] I, [mm] Xi\subseteq [/mm] A} [mm] \cup [/mm] {{Xi}: [mm] i\in [/mm] I, [mm] Xi\subseteq [/mm] B }
= {{Xi}: [mm] i\in [/mm] I, [mm] Xi\subseteq [/mm] A [mm] \vee Xi\subseteq [/mm] B }
beim Vergleichen fällt auf, dass die obere Menge mehr Elemente enthällt, solange [mm] A\cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset. [/mm]
Daher ist für mich c) richtig, b nur wenn [mm] A\cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] und a) auch nur wahr wenn [mm] A\cap [/mm] B = [mm] \emptyset.
[/mm]
Ich würde mir wünschen diesen Beweis in eine schönere Form zu bekommen. Wie mache ich das denn am bessten. Und ist der Beweis so eig richtig?
bei den unteren 3 Teilaufgaben habe ich mir folgendes überlegt:
(1) Ich versuche zu zeigen, dass die Mächtigkeit der Menge der linken Seite ungleich der Mächtigkeit der Menge der rechten Seite ist. Dies gelingt mir jedoch nur dann, wenn [mm] A\cap [/mm] B = [mm] \emptyset. [/mm] (relativ einfach über 2^(#A [mm] \cap [/mm] B) = 2^#A + 2^#B)
Wie verändere ich denn die Aussage, dass sie auch für den Fall [mm] A\cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset [/mm] gilt?
(2) Betrachte ich die Form der Mengen, die links und rechts stehen. Auf der linken Seite steht die Potenzmenge des Kreuzproduktes, also eine Menge von Mengen, deren Elemente Tupel sind. Auf der rechten Seite stehen nur Mengen, deren Elemente Tupel sind. Daher schließe ich, dass nur Aussage f stimmt.
Meine Frage hierzu: Sind meine Schlussfolgerungen richtig? Zählt das schon als Beweis (ich denke nicht)? Wenn nein, wie beweise ich denn die untern 3 Aussagen?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich bedanke mich mal schon im Voraus für eure Hilfe!
lg kuemmelsche
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Fr 24.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> A und B seien beliebige Mengen. Beweisen oder widerlegen
> Sie folgende Aussagen:
>
> (a) [mm]\mathcal{P}(A \cup[/mm] B) [mm]\subseteq \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)[/mm]
> (b) [mm]\mathcal{P}(A \cup[/mm] B) = [mm]\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)[/mm]
> (c) [mm]\mathcal{P}(A \cup[/mm] B) [mm]\supseteq \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)[/mm]
> (d) [mm]\mathcal{P}(A \times[/mm] B) [mm]\subseteq \mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B)[/mm]
> (e) [mm]\mathcal{P}(A \times[/mm] B) = [mm]\mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B)[/mm]
> (f) [mm]\mathcal{P}(A \times[/mm] B) [mm]\supseteq \mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B)[/mm]
>
> Bei näheren hinsehen komme ich auf:
> [mm]\mathcal{P}(A \cup B) = \{\{X_i\}: i\in I, X_i\subseteq A \cup B \}=\{\{X_i\}: i\in I, X_i\subseteq A\setminus B \vee X_i\subseteq B\setminus A \vee X_i\subseteq A\cap B\}[/mm]
Das ist schon richtig, aber nicht so gut aufgeschrieben. Wozu führst du die Indexmenge $I$ ein? Warum Schreibst du die [mm] $X_i$ [/mm] nochmal in Mengenklammern? Schreibe doch einfach
[mm] $\mathcal{P}(A\cup B)=\{X: X\subset A\cup B\}=\{X: X\subset A\setminus B\vee X\subset A\cap B\vee X\subset B\setminus A\}$
[/mm]
> und auf:
> [mm]\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)= \{\{X_i\}:i\in I, X_i\subseteq A\} \cup \{\{X_i\}:i\in I,X_i\subseteq B\}{= \{\{X_i\}: i\inI,X_i\subseteq A \vee X_i\subseteq B\}[/mm]
Dito.
> beim Vergleichen fällt auf, dass die obere Menge mehr
> Elemente enthällt, solange [mm]A\cap[/mm] B [mm]\not= \emptyset.[/mm]
Aha... Das will ich irgendwie gar nicht so recht einsehen. 
> Daher ist für mich c) richtig, b nur wenn [mm]A\cap[/mm] B =
> [mm]\emptyset[/mm] und a) auch nur wahr wenn [mm]A\cap[/mm] B = [mm]\emptyset.[/mm]
Was ist wenn $A=B$ ist? Oder allgemeiner, wenn [mm] $A\subset [/mm] B$ bzw. [mm] $B\subset [/mm] A$ ist? (Damit meine ich übrigens nicht "echte Teilmenge", sondern einfach nur "Teilmenge". Das [mm] $\subseteq$ [/mm] hat sich irgendwie nicht durchgesetzt)
> Ich würde mir wünschen diesen Beweis in eine schönere Form
> zu bekommen. Wie mache ich das denn am bessten. Und ist der
> Beweis so eig richtig?
Der typische Anfängerfehler bei solchen "Mengenaufgaben" ist, die Mengen irgendwie "umformen zu wollen". Das macht man so nicht und das solltest du dir so schnell wie möglich abgewöhnen. Mengen sind keine Terme oder Zahlen oder sowas. Wenn du zeigen willst, dass zwei Mengen gleich sind, musst du zeigen dass jede in der anderen enthalten ist. Um zu zeigen, dass eine Menge A in der anderen Menge B enthalten ist sagst du "Sei a ein beliebiges Element in A$" und folgerst dann, dass auch [mm]a\in B[/mm] sein muss.
Wenn ich z.B. zeigen will, dass die Menge der durch 4 teilbaren natürlichen Zahlen enthalten ist in der Menge geraden natürlichen Zahlen, dann sage ich:
"Sei $z$ eine beliebige durch 4 teilbare natürliche Zahl. Dann gibt es eine natürliche Zahl $m$ so, dass $z=4m$ ist. Also ist [mm] $z=4m=2\cdot(2m)$ [/mm] auch gerade, denn ich habe eine Zahl (nämlich [mm] $\tilde [/mm] m=2m$) gefunden, sodass [mm] $z=2*\tilde [/mm] m$ ist."
Jedenfalls siehst du dass ich keine Mengen "umgeformt" habe.
> bei den unteren 3 Teilaufgaben habe ich mir folgendes
> überlegt:
>
> (1) Ich versuche zu zeigen, dass die Mächtigkeit der Menge
> der linken Seite ungleich der Mächtigkeit der Menge der
> rechten Seite ist. Dies gelingt mir jedoch nur dann, wenn
> [mm]A\cap[/mm] B = [mm]\emptyset.[/mm] (relativ einfach über 2^(#A [mm]\cap[/mm] B) =
> 2^#A + 2^#B)
>
> Wie verändere ich denn die Aussage, dass sie auch für den
> Fall [mm]A\cap[/mm] B [mm]\not= \emptyset[/mm] gilt?
Mächtigkeiten kannst du vergessen, da die Mengen beliebig sind, also z.B. endlich, abzählbar, überabzählbar oder noch viel größer. Deine Gleichungen ergeben dann gar keinen Sinn.
> (2) Betrachte ich die Form der Mengen, die links und rechts
> stehen. Auf der linken Seite steht die Potenzmenge des
> Kreuzproduktes, also eine Menge von Mengen, deren Elemente
> Tupel sind.
Richtig.
> Auf der rechten Seite stehen nur Mengen, deren
> Elemente Tupel sind.
Nein auf der Rechten Seite stehen (2-)Tupel, deren Komponenten Mengen sind. Insbesondere ist auch (f) falsch
> Meine Frage hierzu: Sind meine Schlussfolgerungen richtig?
> Zählt das schon als Beweis (ich denke nicht)?
Abgesehen von dem kleinen Denkfehler bei (2) hast du jetzt einen Beweis, dass (d)-(f) falsch sind.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:55 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> A und B seien beliebige Mengen. Beweisen oder widerlegen
> Sie folgende Aussagen:
> (c) [mm]\mathcal{P}(A \cup[/mm] B) [mm]\supseteq \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)[/mm]
also ich mag' das nicht, da Mengen hinzuschreiben und hin und her zu wurschteln und zu vergleichen, was da innerhalb der Mengenklammer steht. Das verwirrt mich immer eher
Ich behaupte mal, dass die Aussage c) stimmt. Und jetzt biete ich Dir mal (die mir gewohnte) folgende Notation für den Beweis an:
Wir haben zu zeigen: Für jedes $X [mm] \in \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)$ [/mm] gilt auch $X [mm] \in \mathcal{P}(A \cup B)\,.$
[/mm]
Nehmen wir also ein beliebiges $X [mm] \in \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)$ [/mm] her. Dann gilt $X [mm] \in \mathcal{P}(A)$ [/mm] oder $X [mm] \in \mathcal{P}(B)$. [/mm] Also gilt $X [mm] \subseteq [/mm] A$ oder $X [mm] \subseteq [/mm] B$. Dann gilt aber $X [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ oder $X [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$, also in jedem Falle $X [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ und damit auch $X [mm] \in \mathcal{P}(A \cup B)\,.$ [/mm] Damit ist, weil $X [mm] \in \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)$ [/mm] beliebig war, dann c) bewiesen.
Gruß,
Marcel
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