Beweis Produkt Differenz < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | A, B, A', B' seien Mengen.
Beweisen Sie, dass
(A X B) \ (A' X B')
im allgemeinen nicht dasselbe ist wie
(A \ A') X (B \ B') |
Hallo.
Da es sich um einen Beweis handelt, habe ich mir überlegt die Frage ins Logik Forum zu stellen.
Über eine Kontrolle meines Ansatzes würde ich mich freuen:
Hier mein Ansatz zu 1)
X
Annahme: Aussage sei richtig:
(A X B) \ (A' X B') (A \ A') X (B X B')
1.M:= (A X B) \ (A' X B') \
(a,b) M: a A' b B’
2.K:= (A \ A') X (B \ B') X
K: a A' b B'
Aus den letzten beiden Folgerungen folgt die Nichtäquivalenz.
Grüße
|
|
| |
|
Hiho,
die Aufgabe war doch schonmal gestellt irgendwo?
Nagut, tut auch nix zur Sache, aber ohne Formeleditor tu ich mir nicht wirklich an das durchzulesen.
Aber ein heißer Tipp für dich:
"Beweisen sie, dass im Allgemeinen nicht gilt..." schreit förmlich nach einem einfachen Gegenbeispiel.
Da musst du dann auch nix mehr groß zeigen, sondern es einfach hinschreiben 
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo.
Ja ich habe die Frage bereits in einem anderen Unterforum gestellt.
Leider hat copy und paste gerade nicht so richtig funktioniert, deswegen macht obiges auch für mich keinen Sinn.
Hier noch einmal in voller Länger:
Hier mein Ansatz zu 1)
$ [mm] \{A, A', B, B' \} \subset [/mm] X $
Annahme: Aussage sei richtig:
1. M:= (A X B) \ (A' X B') [mm] \gdw \{(a,b) \in X^{2}: a \in A , b \in B \} [/mm] \ [mm] \{(a,b) \in X^{2}: a \in A' , b \in B'\} \gdw \{(a,b) \in X^{2}: (a \in A, b \in B) \wedge (a \notin A' , b \notin B')\} \Rightarrow
[/mm]
[mm] \neg \exists(a,b) \in [/mm] M: a [mm] \in [/mm] A' [mm] \wedge [/mm] b [mm] \in [/mm] B'
2. K:= (A \ A') X (B \ B') [mm] \gdw \{a \in X: a \in A \wedge a \notin A'\} [/mm] X {b [mm] \in [/mm] X: b [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] b [mm] \notin B’\} \gdw \{ (a,b) \in X^{2}: a\in A \wedge a \notin A' , b \in B \wedge b \notin B' \} \Rightarrow \neg \exists (a,b)\in [/mm] K: a [mm] \in [/mm] A' [mm] \vee [/mm] b [mm] \in [/mm] B'
Zur Übung sollte mein Versuch der Formulierung eines Gegenbeweises i.O sein.
Über eine Kontrolle würde ich mich sehr freuen :)
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo.
>
> Ja ich habe die Frage bereits in einem anderen Unterforum
> gestellt.
> Leider hat copy und paste gerade nicht so richtig
> funktioniert, deswegen macht obiges auch für mich keinen
> Sinn.
>
> Hier noch einmal in voller Länger:
> Hier mein Ansatz zu 1)
> [mm]\{A, A', B, B' \} \subset X[/mm]
>
> Annahme: Aussage sei richtig:
>
> 1. M:= (A X B) \ (A' X B') [mm]\gdw \{(a,b) \in X^{2}: a \in A , b \in B \}[/mm]
> \ [mm]\{(a,b) \in X^{2}: a \in A' , b \in B'\} \gdw \{(a,b) \in X^{2}: (a \in A, b \in B) \wedge (a \notin A' , b \notin B')\} \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\neg \exists(a,b) \in[/mm] M: a [mm]\in[/mm] A' [mm]\wedge[/mm] b [mm]\in[/mm] B'
Boah, das ist aber gruselig! Du schmeißt da logisch alles in einen Topf und verwendest Zeichen nach Gutdünken.
Ein Korrektor wird dich verfluchen und dir wenn überhaupt, einen Gnadenpunkt geben.
Zum einen wegen der haarsträubenden Formalistik, zum anderen weil du nicht ein einfaches Gegenbsp. angibst ...
>
> 2. K:= (A \ A') X (B \ B') [mm]\gdw \{a \in X: a \in A \wedge a \notin A'\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> X {b [mm]\in[/mm] X: b [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] b [mm]\notin B’\} \gdw \{ (a,b) \in X^{2}: a\in A \wedge a \notin A' , b \in B \wedge b \notin B' \} \Rightarrow \neg \exists (a,b)\in[/mm]
> K: a [mm]\in[/mm] A' [mm]\vee[/mm] b [mm]\in[/mm] B'
>
> Zur Übung sollte mein Versuch der Formulierung eines
> Gegenbeweises i.O sein.
Schlimm!
> Über eine Kontrolle würde ich mich sehr freuen :)
>
> Grüße
Liebe Grüße
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 So 06.01.2013 | | Autor: | Masseltof |
Kannst du konkretisieren wo meine Schreibweise unkorrekt ist?
Ich höre Mathematik nicht an der Universität und versuche es mir so gut wie möglich über Skripte beizubringen.
Als Bsp:
(A X B) \ (A' X B'). Per Definition ist das eine Menge.
Also kann ich daraus folgern, dass die Menge aufgebaut ist wie folgt:
(AxB) \ (A' X B') [mm] \Rightarrow \{(a,b) \in X^{2}: a\in A, b \in B\} [/mm] \ [mm] \{(a,b) \in X^{2}: a \in A' , b\in B'\}
[/mm]
Der Schritt geht ebenfalls in die andere Richtung:
{(a,b) [mm] \in X^{2}: a\in [/mm] A, b [mm] \in B\} [/mm] \ [mm] \{(a,b) \in X^{2}: a \in A' , b\in B'\} \Rightarrow [/mm] (AxB) \ (A' X B')
Daher müsste ich es als [mm] \gdw [/mm] schreiben können.
Wahrscheinlich habe ich etwas falsch aufgefasst, daher würde ich mich wie gesagt über eine Spezifizierung freuen.
Als Gegenbeispiel:
[mm] A:=\{1,2\}
[/mm]
[mm] A':=\{1}
[/mm]
[mm] B:=\{3,4\}
[/mm]
[mm] B':=\{3\}
[/mm]
(A X B) \ (A' X [mm] B')=\{(1,4),(2,3),(2,4)\}
[/mm]
(A \ A') \ (B X B') = [mm] \{(2,4)\}
[/mm]
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Kannst du konkretisieren wo meine Schreibweise unkorrekt
> ist?
Nun, Mengen können gleich sein, etwa [mm]A=B[/mm] oder [mm]A\times B=A'\times B'[/mm].
Aussagen hingegen können äquivalent sein, etwa [mm]x\in (A\cap B) \ \gdw \ (x\in A \ \wedge \ x\in B)[/mm]
> Ich höre Mathematik nicht an der Universität und
> versuche es mir so gut wie möglich über Skripte
> beizubringen.
>
> Als Bsp:
>
> (A X B) \ (A' X B'). Per Definition ist das eine Menge.
> Also kann ich daraus folgern, dass die Menge aufgebaut ist
> wie folgt:
> (AxB) \ (A' X B') [mm]\Rightarrow \{(a,b) \in X^{2}: a\in A, b \in B\}[/mm] \ [mm]\{(a,b) \in X^{2}: a \in A' , b\in B'\}[/mm]
siehe oben. Da muss "=" (bzw. zumindest [mm]\subset[/mm]) stehen und nicht [mm]\Rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Der Schritt geht ebenfalls in die andere Richtung:
> {(a,b) [mm]\in X^{2}: a\in[/mm] A, b [mm]\in B\}[/mm] \ [mm]\{(a,b) \in X^{2}: a \in A' , b\in B'\} \Rightarrow[/mm]
> (AxB) \ (A' X B')
>
> Daher müsste ich es als [mm]\gdw[/mm] schreiben können.
"=" !
>
> Wahrscheinlich habe ich etwas falsch aufgefasst, daher
> würde ich mich wie gesagt über eine Spezifizierung
> freuen.
>
> Als Gegenbeispiel:
> [mm]A:=\{1,2\}[/mm]
> [mm]A':=\{1}[/mm]
> [mm]B:=\{3,4\}[/mm]
> [mm]B':=\{3\}[/mm]
>
> (A X B) \ (A' X [mm]B')=\{(1,4),(2,3),(2,4)\}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> (A \ A') \ (B X B')
[mm](A\setminus A') \ \red{\times} \ (B\red{\setminus} B')[/mm] sollte es heißen ...
> = [mm]\{(2,4)\}[/mm]
Mit der Angabe eines Gegenbeispiels ist die Aussage widerlegt.
Das genügt also vollkommen.
>
> Grüße
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 08.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
