Beweis Radon Nikodym < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 So 17.11.2013 | | Autor: | Arthaire |
| Aufgabe | Es seien [mm] \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] Maße auf ein und demselben messbaren Raum [mm] (\Omega,\mathcal{A}), [/mm] ferner sei [mm] \phi [/mm] = [mm] \bruch{d\nu}{d\mu}
[/mm]
Man
zeige:
(i) [mm] \phi [/mm] > 0 [mm] \nu-fast [/mm] überall.
(ii) Gilt [mm] \nu \le \mu [/mm] (d.h. [mm] \nu(A) \le \mu(A) [/mm] für alle A [mm] \in \mathcal{A}), [/mm] so ist [mm] \phi \le [/mm] 1 [mm] \nu-fast [/mm] überall. |
Hallo zusammen,
ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
Ich bin mir hier nicht sicher, was ich zeigen soll. Die Voraussetzung der Aufgabe ist ja, dass die Radon-Nikodym-Dichte existiert. Wie zeige ich denn die [mm] \nu-fast [/mm] überall Aussage?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:27 So 17.11.2013 | | Autor: | Fry |
huhu Artaire,
also entsprechend der Def. von Dichten ist [mm]\phi\ge 0[/mm].
Bei (1) ist folglich zu zeigen, dass [mm]\nu(\phi=0)=0[/mm].
Nun gilt: [mm]\nu(\phi=0)=\int_{\{\phi=0\}}f\:d\mu=\int_{\{\phi=0\}}0\:d\mu=0[/mm].
Zu (2) Es gilt [mm]\nu(A)\le \mu(A)[/mm] für alle [mm]A\in\mathcal A[/mm]
also [mm]\int_A \phi\:d\mu\le \int_A 1\: d\mu[/mm]
und damit [mm]\phi\le 1[/mm] [mm]\mu[/mm]-f.s, also [mm]\mu(\phi> 1)=0[/mm].
Nach Voraussetzung allerdings auch [mm]\nu(\phi >1)=0[/mm].
LG
Fry
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