Beweis Reihenfolge Eckpunkte < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo an alle!
Sei T ein Dreieck mit Eckpunkten [mm] $A(x_A,\ y_A)$, $B(x_B,\ y_B)$ [/mm] und [mm] $C(x_C,\ y_C)$. [/mm] |
T [mm] ($A\to B\to [/mm] C$) ist im Uhrzeigersinn orientiert [mm] $\gdw$ $\det\pmat{x_A & x_B& x_C \\ y_A&y_B&y_C\\ 1&1&1}>0$ [/mm] ist.
Meine Frage: Handelt es sich dabei um eine Definition oder kann man das beweisen? Falls es eine Proposition ist, wie kònnte ich sie beweisen?
Danke an alle!
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Hallo Sonnenblume,
das ist keine Definition, es sei denn, damit soll der Uhrzeigersinn definiert werden. Wenn der aber schon bekannt ist, dann kannst Du die Aussage beweisen.
Überleg mal, was passiert, wenn Du zwei der Punkte vertauschst. Was geschieht mit der Orientierung, was mit der Determinante?
Was geschieht, wenn Du die Punkte in ein neues Koordinatensystem legst, mit dem Ursprung in A?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Mi 09.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Sonnenblume,
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> das ist keine Definition, es sei denn, damit soll der
> Uhrzeigersinn definiert werden. Wenn der aber schon bekannt
> ist, dann kannst Du die Aussage beweisen.
Hallo reverend,
woher ist Dir bekannt, dass unsere Sonnenblume nicht aus ![[]](/images/popup.gif) Bayern kommt ?
FRED
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> Überleg mal, was passiert, wenn Du zwei der Punkte
> vertauschst. Was geschieht mit der Orientierung, was mit
> der Determinante?
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> Was geschieht, wenn Du die Punkte in ein neues
> Koordinatensystem legst, mit dem Ursprung in A?
>
> Grüße
> reverend
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Hallo reverend!
Danke erstmal fùr deine Antwort.
Also wenn ich zwei der Punkte vertausche so ist T ($ [mm] A\to C\to [/mm] B $) gegen den Uhrzeigersinn orientiert und T ($ [mm] A\to C\to [/mm] B $) ist gegen den Uhrzeigersinn orientiert $ [mm] \gdw [/mm] $ [mm] $\det\pmat{x_A & x_C& x_B \\ y_A&y_C&y_B\\ 1&1&1}<0$ [/mm] gilt.
Aber das muss ich ja auch wieder beweisen, oder?
Wenn ich die Punkte in ein neues Koordinatensystem lege, mit dem Ursprung in A, so erhalte ich [mm] $\det\pmat{0 & x_B& x_C \\ 0&y_B&y_C\\ 1&1&1}= \det\pmat{x_B& x_C \\ y_B&y_C}$ [/mm] bzw. [mm] $\det\pmat{0 & x_C& x_B \\ 0&y_C&y_B\\ 1&1&1}= \det\pmat{x_C& x_B \\ y_C&y_B}.
[/mm]
Ok, bis hierher alles klar. Finde es aber schwierig jetzt alles in einer logischen Struktur wiederzugeben.
Ich muss ja beide Richtungen beweisen:
1) T ($ [mm] A\to B\to [/mm] C $) ist im Uhrzeigersinn orientiert $ $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \det\pmat{x_A & x_B& x_C \\ y_A&y_B&y_C\\ 1&1&1}>0 [/mm] $
2) [mm] $\det\pmat{x_A & x_B& x_C \\ y_A&y_B&y_C\\ 1&1&1}>0 [/mm] $ $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ T ($ [mm] A\to B\to [/mm] C $) ist im Uhrzeigersinn orientiert
Wie kann ich die Hypothese T ($ [mm] A\to B\to [/mm] C $) ist im Uhrzeigersinn orientiert mathematisch formulieren? Ich muss ja irgendwann die Determinante ins Spiel bringen.
Danke an alle die mir weiterhelfen!
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Niemand der mir bitte bitte einen Tipp gibt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 So 13.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Das ist eine ganz einfache Sache. Man muss dazu nur wissen, dass die Determinante aus drei Vektoren im [mm] R^3 [/mm] genau dann positiv ist, wenn die drei Vektoren ein Rechtssystem (rechte Hand: Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger) bilden.
Durch die 1 (eins) in der 3. Komponente hebt man die Punkte des Dreiecks von der x-y-Ebene um eine Einheit nach oben in Richtung z-Achse. Nun halte deine rechte Hand so, dass der Punkt, wo die drei Finger angewachsen sind im Ursprung des Koordinatensystems ist und die Fingerspitzen nach oben weisen. Dann ist alles klar.
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Danke nobsy.
Ok, aber so muss ich halt beweisen, dass die Determinante aus drei Vektoren im $ [mm] R^3 [/mm] $ genau dann positiv ist, wenn die drei Vektoren ein Rechtssystem (rechte Hand: Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger) bilden. Oder?
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Hallo nochmal,
> Danke nobsy.
> Ok, aber so muss ich halt beweisen, dass die Determinante
> aus drei Vektoren im [mm]R^3[/mm] genau dann positiv ist, wenn die
> drei Vektoren ein Rechtssystem (rechte Hand: Daumen,
> Zeigefinger, Mittelfinger) bilden. Oder?
Ja, genau das sollst Du zeigen.
Probiers doch erst einmal ohne Matrizen.
Wenn die Punkte A und B bekannt sind, kann Du ja den Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] bestimmen. Wie muss nun der Vektor [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] liegen, damit ABC ein Rechtssystem ist? Wie kannst Du das ermitteln? Ganz platt: wie bestimmt den Winkel zwischen zwei Vektoren?
Grüße
reverend
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Stimmt es, dass ich mit noby's Ansatz diese Richtung: T ($ [mm] A\to B\to [/mm] C $) ist im Uhrzeigersinn orientiert $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ $ [mm] \det\pmat{x_A & x_B& x_C \\ y_A&y_B&y_C\\ 1&1&1}>0 [/mm] $ beweise?
> Probiers doch erst einmal ohne Matrizen.
> Wenn die Punkte A und B bekannt sind, kann Du ja den
> Vektor [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] bestimmen.
Nehmen wir $A(0,\ 0)$.
Ok, dann [mm]\overrightarrow{AB}=(x_B,\ y_B)[/mm].
> Wie muss nun der
> Vektor [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] liegen, damit ABC ein
> Rechtssystem ist? Wie kannst Du das ermitteln? Ganz platt:
> wie bestimmt den Winkel zwischen zwei Vektoren?
Sei [mm]\overrightarrow{AC}=(x_C,\ y_C)[/mm].
Damit ABC ein Rechtssystem ist, muss [mm] $0°<\arccos\bruch{\vektor{x_B \\ y_B}\cdot \vektor{x_C\\ y_C}}{[x_B^2+y_B^2]\cdot [x_C^2+y_C^2]}<180°$ [/mm] gelten.
Stimmt das bis hierher?
Aber wie bekomme ich jetzt [mm] $\arccos$ [/mm] weg und wie komme ich auf [mm] \det\pmat{0 & x_B& x_C \\ 0&y_B&y_C\\ 1&1&1}>0 [/mm] $?
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Hallo Sonnenblume,
alles ganz schön, nur hilft Dir der Cosinus nicht, um herauszufinden, ob der Winkel größer oder kleiner als 180° ist.
Da wirst Du den Sinus brauchen.
Kommt der auch irgendwo vor?
Grüße
reverend
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Danke reverend.
> Da wirst Du den Sinus brauchen.
> Kommt der auch irgendwo vor?
Also:
Damit ABC ein Rechtssystem ist, muss $ [mm] 0°<\arcsin\bruch{\vektor{x_B \\ y_B}\times \vektor{x_C\\ y_C}}{[x_B^2+y_B^2]\cdot [x_C^2+y_C^2]}<180° [/mm] $ gelten.
Stimmt das jetzt?
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Hallo,
es wird besser. 
...aber was ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren aus dem [mm] \IR^2 [/mm] ?
lg
rev
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Hallo reverend!
Damit ABC ein Rechtssystem ist, muss $ [mm] 0<\arcsin\bruch{\vektor{x_B \\ y_B}\times \vektor{x_C\\ y_C}}{[x_B^2+y_B^2]\cdot [x_C^2+y_C^2]}<180$ [/mm] gelten.
Daraus folgt:
$ [mm] 0<\arcsin\bruch{x_By_C-x_Cy_B}{[x_B^2+y_B^2]\cdot [x_C^2+y_C^2]}<180$ [/mm] bzw. $ [mm] 0<\arcsin\bruch{\det\pmat{0 & x_B& x_C \\ 0&y_B&y_C\\ 1&1&1}}{[x_B^2+y_B^2]\cdot [x_C^2+y_C^2]}<180 [/mm] $. Ok, da haben wir schon mal die Determinante. Wenn ich richtig verstanden habe muss ich jetzt diesen Ausdruck so umformen, dass ich $ [mm] \det\pmat{0 & x_B& x_C \\ 0&y_B&y_C\\ 1&1&1}>0 [/mm] $ schliessen kann. Liege ich hiermit richtig?
Probieren wir es mal so:
[mm] $\sin0<\bruch{\det\pmat{0 & x_B& x_C \\ 0&y_B&y_C\\ 1&1&1}}{[x_B^2+y_B^2]\cdot [x_C^2+y_C^2]}<\sin180$
[/mm]
Das schaut aber irgendwie falsch aus, da ja [mm] $\sin0=0$ [/mm] und [mm] $\sin180=0$ [/mm] gilt.
Bitte noch einen kleinen Tipp. 
LG und danke nochmal.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Mo 14.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Ich denke, ich muss noch einen Tip geben. Hoffentlich klappt der Formelsatz, sonst muss ich es mit Leerzeichen und Zeilenumbrüchen versuchen.
Nach den Regeln für Determinanten darf man zu einer Spalte ein beliebiges Vielfaches einer anderen Spalte addieren oder subtrahieren, ohne dass sich der Wert der Determinante dabei ändert. Geht man von der Determinante
| xA xB xC |
| yA yB yC |
| 1 1 1 |
aus, so hat daher die Determinante
| xA xB-xA xC-xA |
| yA yB-yA yC-yA |
| 1 0 0 |
den gleichen Wert. Diese Determinante wird nach der letzten Zeile entwickelt, also
Det= 1.Det2 + 0 + 0,
wobei Det2 folgende zweireihigeDeterminante ist:
| xB-xA xC-xA |
| yB-yA yC-yA |
Diese Determinante enthält die Seitenvektoren des besagten Dreiecks als Spaltenvektoren (Differenzvektoren b-a und c-a) und gibt nach dem was man über zweireihige Determinanten so weiß, den orientieren (vorzeichenbehafteten) Flächeninhalt des von den beiden Differenzvektoren aufgespannten Parallelogramms an. Das Dreieck hat dann den halben Flächeninhalt. Wenn c-a links von b-a liegt, ist diese zweireihige Determinante positiv, wenn c-a rechts von b-a liegt, ist sie negativ.
Damit hat man das Problem elegant und ohne große Fallunterscheidung gelöst.
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Danke nobsy fùr deine Mùhe.
Aber noch eine Frage:
Du schreibst zum Schluss: "Wenn c-a links von b-a liegt, ist diese zweireihige Determinante positiv, wenn c-a links von b-a liegt, ist sie negativ."
Warum? Wie kommst du zu diesem Schluss?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mo 14.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Das steht in jedem besseren Mathematikbuch über Determinanten. Ferner kann man es sich auch so klar machen:
Vertauscht man in einer zweireihigen Determinante die beiden Spaltenvektoren, so ändert sich das Vorzeichen. Dann hat man aber auch die Blickrichtung des ersten Vektors geändert, der andere Vektor liegt dann auf der anderen Seite.
Damit ist das Alternieren gezeigt. Bleibt nur noch die Frage: wann positiv. Das liegt daran, dass der Sinus für Winkel 0<alpha<180 positiv, für -180<alpha<0 negativ ist. Der Sinus kommt ins Spiel, wenn man die Formel für die Parallelogrammfläche
A(Parallelogramm)=Grundlinie mal Höhe = Seite mal Seite mal Sinus des Winkels herleitet.
Ist das so klar genug.
Ich kann leider keine Formeln im Forum schreiben, sonst könnte ich es besser erklären. Mit dem Mac klappt das nicht. Mein Mathtype auf dem Mac ist besser.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:35 Mo 14.05.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nobsy,
> Ich kann leider keine Formeln im Forum schreiben, sonst
> könnte ich es besser erklären. Mit dem Mac klappt das
> nicht. Mein Mathtype auf dem Mac ist besser.
Ob Mathtype besser ist, weiß ich nicht, ich habe es nicht ausprobiert.
Aber Du kannst hier mit jedem Computer Formeln schreiben, auch mit einem C64 (wenn Du ihn ans Internet bekommen hast) oder Atari 1024 ST (dito) oder einem IBM-Terminal der späten 1960er Jahre oder einem nagelneuen Eigenbau mit selbstgeschriebenem Betriebssystem. Hauptsache, Dein Computer beherrscht den erweiterten ASCII-Zeichensatz. Dann nämlich kannst Du LaTeX schreiben, und darauf basiert hier die gesamte Formeldarstellung.
Viele User schreiben hier auf Mac, in den verschiedensten OS-Varianten. Wenn Du da Hilfe brauchst, schreib mal eine eigene Anfrage in der Benutzerbetreuung (oder notfalls anderswo, wir finden das dann schon und verlegen es an eine sinnvolle Stelle). Du kannst hier prinzipiell jede mathematische Formel schreiben. Jede.
Grüße
reverend
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Danke danke an alle, ihr habt mir wirklich sehr weitergeholfen.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:52 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wenn c-a links
> von b-a liegt, ist diese zweireihige Determinante positiv,
> wenn c-a links von b-a liegt, ist sie negativ.
da taucht zwei mal der gleiche Fall auf, dass [mm] $c-a\,$ [/mm] links von [mm] $b-a\,$ [/mm] liegt. Einmal sollte da sicher rechts stehen?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 00:59 Mo 14.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Hab's schon im Artikel ausgebessert. Jetzt stimmt es.
Euer nobsy
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Bayern