Beweis Rekursionsformel < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}=\vektor{n \\ k} [/mm] |
Hallo, also ich würde gerne die oben genannte rekursionsformel beweisen.
Also mein ansatz sieht so aus, dass ich zu beginn die binomialkoeffizienten auschreibe:
[mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{(k-1)! ((n-1)-(k-1))!}
[/mm]
[mm] \vektor{n-1 \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{k!((n-1)-k))!}
[/mm]
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
bin ich soweit noch richtig?
Danke für eure hilfe...
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Hallo,
> [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}=\vektor{n \\ k}[/mm]
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> Hallo, also ich würde gerne die oben genannte
> rekursionsformel beweisen.
>
> Also mein ansatz sieht so aus, dass ich zu beginn die
> binomialkoeffizienten auschreibe:
>
> [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] = [mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)! ((n-1)-(k-1))!}[/mm]
>
> [mm]\vektor{n-1 \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{(n-1)!}{k!((n-1)-k))!}[/mm]
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> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
>
>
> bin ich soweit noch richtig?
Soweit ist das richtig. Einen Ansatz würde ich es aber noch nicht nennen. Beachte mal im ersten Fall noch die Vereinfachungsmöglichkeit im Nenner und dann musst du addieren, indem du beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringst.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> > [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}=\vektor{n \\ k}[/mm]
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> > [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] = [mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)! ((n-1)-(k-1))!}[/mm]
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> > [mm]\vektor{n-1 \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{(n-1)!}{k!((n-1)-k))!}[/mm]
> >
> > [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
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> Soweit ist das richtig. Einen Ansatz würde ich es aber
> noch nicht nennen. Beachte mal im ersten Fall noch die
> Vereinfachungsmöglichkeit im Nenner und dann musst du
> addieren, indem du beide Brüche auf einen gemeinsamen
> Nenner bringst.
>
> Gruß, Diophant
danke schon mal, ja, das weitere vorgehen hab ich mir auch so gedacht, aber jetzt wirds ein bisschen peinlich!!! ich möchte gern die inneren klammern im nenner auf lösen, bin mir aber nicht sicher ob ich das richtig hinbekommen habe....
[mm] \bruch{(n-1)!}{(k-1)! ((n-1)-(k-1))!} [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{(k-1)! (n-1-k+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{(k-1)! (n-k)!}
[/mm]
und
[mm] \bruch{(n-1)!}{k!((n-1)-k))!} [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}
[/mm]
hab ich das so richtig gemacht?
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Hallo Marc,
> > > [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}=\vektor{n \\ k}[/mm]
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> > > [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] = [mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)! ((n-1)-(k-1))!}[/mm]
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> > >
> > > [mm]\vektor{n-1 \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{(n-1)!}{k!((n-1)-k))!}[/mm]
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> > > [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
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> >
> > Soweit ist das richtig. Einen Ansatz würde ich es aber
> > noch nicht nennen. Beachte mal im ersten Fall noch die
> > Vereinfachungsmöglichkeit im Nenner und dann musst du
> > addieren, indem du beide Brüche auf einen gemeinsamen
> > Nenner bringst.
> >
> > Gruß, Diophant
>
>
> danke schon mal, ja, das weitere vorgehen hab ich mir auch
> so gedacht, aber jetzt wirds ein bisschen peinlich!!! ich
> möchte gern die inneren klammern im nenner auf lösen, bin
> mir aber nicht sicher ob ich das richtig hinbekommen
> habe....
>
> [mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)! ((n-1)-(k-1))!}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)! (n-1-k+1)!}[/mm] = [mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)! (n-k)!}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\bruch{(n-1)!}{k!((n-1)-k))!}[/mm] = [mm]\bruch{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}[/mm]
>
> hab ich das so richtig gemacht?
Das sind noch sehr elementare Umformungen. Die sollte man etwa in der 7. Klasse vollständig beherrschen - auch wenn man da noch gar nichts von Fakultäten gehört hat, an die Du jetzt aber auch noch nicht herangegangen bist.
Der interessante Punkt kommt doch erst jetzt: die Addition der beiden Brüche und die geeignete Umformung, um die Behauptung zu zeigen.
Grüße
reverend
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> Hallo Marc,
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> > > > [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}=\vektor{n \\ k}[/mm]
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> > > >
> > > > [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] = [mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)! ((n-1)-(k-1))!}[/mm]
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> > >
> > > >
> > > > [mm]\vektor{n-1 \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{(n-1)!}{k!((n-1)-k))!}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
> >
> > >
> > > Soweit ist das richtig. Einen Ansatz würde ich es aber
> > > noch nicht nennen. Beachte mal im ersten Fall noch die
> > > Vereinfachungsmöglichkeit im Nenner und dann musst du
> > > addieren, indem du beide Brüche auf einen gemeinsamen
> > > Nenner bringst.
> > >
> > > Gruß, Diophant
> >
> >
> > danke schon mal, ja, das weitere vorgehen hab ich mir auch
> > so gedacht, aber jetzt wirds ein bisschen peinlich!!! ich
> > möchte gern die inneren klammern im nenner auf lösen, bin
> > mir aber nicht sicher ob ich das richtig hinbekommen
> > habe....
> >
> > [mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)! ((n-1)-(k-1))!}[/mm] =
> > [mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)! (n-1-k+1)!}[/mm] = [mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)! (n-k)!}[/mm]
>
> >
> > und
> >
> > [mm]\bruch{(n-1)!}{k!((n-1)-k))!}[/mm] = [mm]\bruch{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}[/mm]
> >
> > hab ich das so richtig gemacht?
>
> Das sind noch sehr elementare Umformungen. Die sollte man
> etwa in der 7. Klasse vollständig beherrschen - auch wenn
> man da noch gar nichts von Fakultäten gehört hat, an die
> Du jetzt aber auch noch nicht herangegangen bist.
>
> Der interessante Punkt kommt doch erst jetzt: die Addition
> der beiden Brüche und die geeignete Umformung, um die
> Behauptung zu zeigen.
>
> Grüße
> reverend
>
ja, ich weiß, aber ich will mir sicher sein, dass ich es richtig mache... ich hab so das gefühl, dass das bei der prüfung kommen wird...
ok weiter gehts... ich erweitere den ersten bruch mit k und den zweiten mit n-k
[mm] \bruch{(n-1)!k}{k(k-1)! (n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{k(n-1)!}{k! (n-k)!}
[/mm]
[mm] \bruch{(n-k)(n-1)!}{k!(n-1-k)!(n-k)} [/mm] = [mm] \bruch{(n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!}
[/mm]
also hab ich den gemeinsamen nenner und die linke seite der gleichung sieht jetzt so aus:
[mm] \bruch{(n-1)!k+(n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!}
[/mm]
ich hoffe, das stimmt noch so, weil jetzt weis ich nicht mehr weiter... immer hier bleib ich stecken....
herzlichen dank nochmal für eure hilfe...
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Hallo nochmal,
> ok weiter gehts... ich erweitere den ersten bruch mit k und
> den zweiten mit n-k
>
> [mm]\bruch{(n-1)!k}{k(k-1)! (n-k)!}[/mm] = [mm]\bruch{k(n-1)!}{k! (n-k)!}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(n-k)(n-1)!}{k!(n-1-k)!(n-k)}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!}[/mm]
>
> also hab ich den gemeinsamen nenner und die linke seite der
> gleichung sieht jetzt so aus:
>
> [mm]\bruch{(n-1)!k+(n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!}[/mm]
Ja, alles richtig. Wenn Du Deine Ergebnisse so ab und zu als Gleichung zusammenfassen könntest, wären sie viel leichter für Korrektoren nachvollziehbar.
> ich hoffe, das stimmt noch so, weil jetzt weis ich nicht
> mehr weiter... immer hier bleib ich stecken....
Jetzt klammerst Du im Zähler mal $(n-1)!$ aus und fasst den anderen Faktor zusammen.
Vergiss nicht, Ziel ist es ja zu zeigen, dass nun im Zähler gerade $n!$ steht und nichts anderes.
> herzlichen dank nochmal für eure hilfe...
Grüße
reverend
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Herzlichen dank schon mal für die tolle hilfe...
ich glaub, jetzt hab ich es geschafft. ich schreib nochmal ausführlich mein vorgehen auf.
zu beweisen ist:
[mm] \vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}=\vektor{n \\ k}
[/mm]
ich schreibe die binomialkoeffizienten um:
[mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{(k-1)! ((n-1)-(k-1))!} [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{(k-1)! (n-k)!}
[/mm]
[mm] \vektor{n-1 \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{k!((n-1)-k))!} [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}
[/mm]
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
also die gleichung sieht jetzt so aus:
[mm] \bruch{(n-1)!}{(k-1)! (n-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
jetzt bilde ich auf der linken seite den gemeinsamen nenner. ich erweitere mit k und mit n-k.
[mm] \bruch{k(n-1)!}{k(k-1)! (n-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n-k)(n-1)!}{(n-k)k!(n-1-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
durch umformene erhalte ich:
[mm] \bruch{(n-1)! k}{k! (n-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n-k)(n-1)!}{k! (n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k! (n-k)!}
[/mm]
jetzt schreib ich nur noch den gemeinsamen nenner an:
[mm] \bruch{(n-1)! k + (n-k)(n-1)!}{k! (n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k! (n-k)!}
[/mm]
(n-1)! herausheben:
[mm] \bruch{(n-1)! (k + n-k)}{k! (n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k! (n-k)!}
[/mm]
das ergibt:
[mm] \bruch{(n-1)! n}{k! (n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k! (n-k)!}
[/mm]
und das ist wieder:
[mm] \bruch{n!}{k! (n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k! (n-k)!} \Rightarrow
[/mm]
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
also das wär mein beweis, die frage ist nur, ob das auch korrekt ist...
danke nochmals...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Herzlichen dank schon mal für die tolle hilfe...
>
> ich glaub, jetzt hab ich es geschafft. ich schreib nochmal
> ausführlich mein vorgehen auf.
>
> zu beweisen ist:
>
> [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}=\vektor{n \\ k}[/mm]
>
> ich schreibe die binomialkoeffizienten um:
>
> [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] = [mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)! ((n-1)-(k-1))!}[/mm]
> = [mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)! (n-k)!}[/mm]
>
> [mm]\vektor{n-1 \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{(n-1)!}{k!((n-1)-k))!}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}[/mm]
>
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
>
> also die gleichung sieht jetzt so aus:
>
> [mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)! (n-k)!}[/mm] + [mm]\bruch{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}[/mm]
> = [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
>
> jetzt bilde ich auf der linken seite den gemeinsamen
> nenner. ich erweitere mit k und mit n-k.
>
> [mm]\bruch{k(n-1)!}{k(k-1)! (n-k)!}[/mm] +
> [mm]\bruch{(n-k)(n-1)!}{(n-k)k!(n-1-k)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
>
> durch umformene erhalte ich:
>
> [mm]\bruch{(n-1)! k}{k! (n-k)!}[/mm] + [mm]\bruch{(n-k)(n-1)!}{k! (n-k)!}[/mm]
> = [mm]\bruch{n!}{k! (n-k)!}[/mm]
>
> jetzt schreib ich nur noch den gemeinsamen nenner an:
>
> [mm]\bruch{(n-1)! k + (n-k)(n-1)!}{k! (n-k)!}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{k! (n-k)!}[/mm]
>
> (n-1)! herausheben:
>
> [mm]\bruch{(n-1)! (k + n-k)}{k! (n-k)!}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{k! (n-k)!}[/mm]
>
> das ergibt:
>
> [mm]\bruch{(n-1)! n}{k! (n-k)!}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{k! (n-k)!}[/mm]
>
> und das ist wieder:
>
> [mm]\bruch{n!}{k! (n-k)!}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{k! (n-k)!} \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
>
> also das wär mein beweis, die frage ist nur, ob das auch
> korrekt ist...
> danke nochmals...
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich würde an deiner Stelle übrigens das ganze auf einer Zeile schreiben und am Ende auf das Ergebnis kommen.
[mm] \vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}=\ldots=\vektor{n \\ k} [/mm] für $0<k<n$
DieAcht
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