Beweis Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Katthi |
Hallo Leute,
und noch ein Beweis, in dem ich einen Schritt nicht nachvollziehen kann.
Der Beweis des Residuensatz sieht wie folgt aus:
[mm] z \in D \backslash S [/mm], wobei D meine offene Menge ist und S die diskrete Menge der Singularitäten.
Daraus folgt:
[mm] \Rightarrow res_z f = 0 [/mm] weil das z folglich keine Singularität ist, dort f also holomorph ist und somit ist das Residuum Null. Weiter ist
[mm] \overline{Int(\gamma)} kompakt \Rightarrow Int(\gamma) \cap S [/mm] ist endlich.
Aus diesen beiden Bedingungen folgt, dass die rechte Seite, also die Summe, des Residuensatzes endlich ist.
Sei [mm] Int(\gamma) \cap S = \{b_1,b_2, ... , b_n\} [/mm]
Seien [mm] h_j(z) = \summe_{i=- \infty}^{-1} a_n^{(j)} (z-b_j)^n [/mm] die Hauptteile von f um [mm] b_j [/mm]
Dann ist [mm] f - \summe_{j=1}^{n} b_j [/mm] holomorph in einer Umgebung V von [mm] \overline{Int(\gamma)} [/mm] .
Wegen [mm] Int(\gamma) \subset V [/mm] folgt mit dem Cauchy-Integralsatz:
[mm] 0 = \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz} - \summe_{j=1}^{n} \integral_{\gamma}^{}{h_j(z) dz} [/mm]
Wenn man jetzt nun für die [mm] h_j [/mm] die Summe oben einsetzt, so erhält man laut Beweis :
[mm] 0 = \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz} - 2 \pi i \summe_{j=1}^{n} n(\gamma , b_j) res_{b_j} f [/mm]
Nun fehlt mir genau dieser Schritt, wie ich das Residuum darein bekomme.
Die Umlaufzahl bekomme ich, indem ich einfach die Definition der Umlaufzahl einsetz, wenn ich die Grenzen der Summe positiv mache. Dadurch rutscht das [mm] (z-b_j)^n [/mm] in den Nenner.
Ich weiß auch, dass mir [mm] a_{-1} [/mm] das Residuum gibt, aber ich habe doch noch die Summe über die i, und nicht nur i = -1 ...
Wo bleiben als die anderen [mm] a_i [/mm] ?
ich hoffe, ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
Vielen Dank,
Katthi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Sa 18.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leute,
>
> und noch ein Beweis, in dem ich einen Schritt nicht
> nachvollziehen kann.
>
> Der Beweis des Residuensatz sieht wie folgt aus:
>
> [mm]z \in D \backslash S [/mm], wobei D meine offene Menge ist und S
> die diskrete Menge der Singularitäten.
> Daraus folgt:
> [mm]\Rightarrow res_z f = 0[/mm] weil das z folglich keine
> Singularität ist, dort f also holomorph ist und somit ist
> das Residuum Null. Weiter ist
> [mm]\overline{Int(\gamma)} kompakt \Rightarrow Int(\gamma) \cap S[/mm]
> ist endlich.
> Aus diesen beiden Bedingungen folgt, dass die rechte
> Seite, also die Summe, des Residuensatzes endlich ist.
> Sei [mm]Int(\gamma) \cap S = \{b_1,b_2, ... , b_n\}[/mm]
> Seien
> [mm]h_j(z) = \summe_{i=- \infty}^{-1} a_n^{(j)} (z-b_j)^n[/mm]
Das lautet richtig: [mm]h_j(z) = \summe_{n=- \infty}^{-1} a_n^{(j)} (z-b_j)^n[/mm]
> die
> Hauptteile von f um [mm]b_j[/mm]
> Dann ist [mm]f - \summe_{j=1}^{n} b_j[/mm] holomorph in einer
> Umgebung V von [mm]\overline{Int(\gamma)}[/mm] .
> Wegen [mm]Int(\gamma) \subset V[/mm] folgt mit dem
> Cauchy-Integralsatz:
> [mm]0 = \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz} - \summe_{j=1}^{n} \integral_{\gamma}^{}{h_j(z) dz}[/mm]
>
> Wenn man jetzt nun für die [mm]h_j[/mm] die Summe oben einsetzt, so
> erhält man laut Beweis :
> [mm]0 = \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz} - 2 \pi i \summe_{j=1}^{n} n(\gamma , b_j) res_{b_j} f[/mm]
>
> Nun fehlt mir genau dieser Schritt, wie ich das Residuum
> darein bekomme.
> Die Umlaufzahl bekomme ich, indem ich einfach die
> Definition der Umlaufzahl einsetz, wenn ich die Grenzen der
> Summe positiv mache. Dadurch rutscht das [mm](z-b_j)^n[/mm] in den
> Nenner.
> Ich weiß auch, dass mir [mm]a_{-1}[/mm] das Residuum gibt, aber
> ich habe doch noch die Summe über die i, und nicht nur i =
> -1 ...
> Wo bleiben als die anderen [mm]a_i[/mm] ?
>
> ich hoffe, ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
Es ist [mm]\integral_{\gamma}^{}{h_j(z) dz} = \summe_{n=- \infty}^{-1} a_n^{(j)} \integral_{\gamma}^{}{(z-b_j)^n dz }[/mm] (warum ?)
Für n [mm] \le [/mm] -2 ist [mm] \integral_{\gamma}^{}{(z-b_j)^n dz }=0
[/mm]
(warum ?)
FRED
> Vielen Dank,
>
> Katthi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Katthi |
Hallo Fred,
du bist echt meine Rettung :)
Zu deiner ersten Frage:
Das ist der Fall, weil ich einfach für [mm] h_j [/mm] die Definition, also die Summe einsetze. Und dann vertausche ich Summe und Integral und die Koeffizienten kann ich ebenfalls vorziehen, weil sie an meinem Integral ja nichts verändern.
Zu der zweiten Frage, hmm das wäre dann ja genau der Knackpunkt ;)
Also wenn ein Integral Null ist, dann liegts vermutlich an Cauchy.
Also für die Koeffzienten [mm] a_n [/mm] gilt ja:
[mm] a_n = \bruch{1}{2\pi i} \integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz} [/mm] .
Ist das richtig? Also quasi dasselbe wiefür die Potenzreihe?
Dann würde ein [mm] n \le -2 [/mm] bedeuten, dass ich dann garkeine Singularität in [mm] z_0 [/mm] hätte und deshalb wären die Koeffizienten Null und damit wären die zugehörigen Integrale Null?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Sa 18.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> du bist echt meine Rettung :)
>
> Zu deiner ersten Frage:
> Das ist der Fall, weil ich einfach für [mm]h_j[/mm] die
> Definition, also die Summe einsetze. Und dann vertausche
> ich Summe und Integral
Das ist doch der Knackpunkt !!!!!! Warum darfst Du das ????
> und die Koeffizienten kann ich
> ebenfalls vorziehen, weil sie an meinem Integral ja nichts
> verändern.
>
> Zu der zweiten Frage, hmm das wäre dann ja genau der
> Knackpunkt ;)
> Also wenn ein Integral Null ist, dann liegts vermutlich an
> Cauchy.
> Also für die Koeffzienten [mm]a_n[/mm] gilt ja:
> [mm]a_n = \bruch{1}{2\pi i} \integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz}[/mm]
> .
> Ist das richtig? Also quasi dasselbe wiefür die
> Potenzreihe?
> Dann würde ein [mm]n \le -2[/mm] bedeuten, dass ich dann garkeine
> Singularität in [mm]z_0[/mm] hätte und deshalb wären die
> Koeffizienten Null und damit wären die zugehörigen
> Integrale Null?
Unsinn !
Für n [mm] \le [/mm] -2 hat die Funktion z [mm] -->(z-b_j)^n [/mm] eine Stammfunktion auf [mm] \IC \setminus \{b_j\}
[/mm]
FRED
|
|
|
|
