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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 So 05.09.2010 | | Autor: | sky1988 |
| Aufgabe | In meinem Skript zur Funktionentheorie steht folgender Schritt im Beweis:
A diskrete Teilmenge von U; die Punkte aus A deren Umlaufzahl ungleich 0 ist, seien [mm] {a_1,...,a_m}
[/mm]
Sei [mm] h_j(z) [/mm] der Hauptteil der Laurententwicklung um [mm] a_j.
[/mm]
Dann ist g:= f- [mm] \summe_{j=1}^{n}a_j [/mm] holomorph auf [mm] U\A [/mm] mit hebbaren Sing. in [mm] a_j, [/mm] j=1,...,m. |
Ich verstehe nicht, warum g holomorph in [mm] a_j [/mm] sein soll mit hebbaren Singularitäten.
Kann mir evtl. jemand helfen?
Zuerst dachte ich mir folgendes: Wenn ich die Entwicklung von f um [mm] a_j [/mm] wieder von f abziehe, dann ergibt die Differenz für jeden punkt [mm] a_j [/mm] Null. Andererseits gilt die Laurententwicklung nur für die Punktierte Kreisscheibe, also gerade in [mm] a_j [/mm] nicht!
Habe ich nen Denkfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 So 05.09.2010 | | Autor: | zorin |
> Sei [mm]h_j(z)[/mm] der Hauptteil der Laurententwicklung um [mm]a_j.[/mm]
> Dann ist g:= f- [mm]\summe_{j=1}^{n}a_j[/mm] holomorph auf [mm]U\A[/mm] mit
> hebbaren Sing. in [mm]a_j,[/mm] j=1,...,m.
Müßte es nicht [mm]g:= f- \summe_{j=1}^{m}h_j[/mm] heißen?
Und dann ist [mm]g[/mm] holomorph dort wo es [mm]f[/mm] ist und in den Punkten [mm]a_1,\ldots,a_m[/mm].
In [mm]A\setminus\{a_1,\ldots,a_m\}[/mm] gibt es immernoch Singularitäten. Nur ist dort die Umlaufzahl der Kurve, die man im Residuensatz betrachtet, 0.
> Ich verstehe nicht, warum g holomorph in [mm]a_j[/mm] sein soll mit
> hebbaren Singularitäten.
In der Nähe von [mm]a_1[/mm] ist [mm]f(z)=h_1(z)+b_1(z)[/mm], wobei der Nebenteil [mm]b_1[/mm] holomorph in [mm]a_1[/mm] ist.
Die Hauptteile [mm]h_2,\ldots,h_m[/mm] sind ebenfalls holomorph in [mm]a_1[/mm].
Was gilt dann für [mm]g[/mm] in diesem Punkt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Mo 06.09.2010 | | Autor: | sky1988 |
Also: Wenn ich das richtig versteh:
f ist nicht holomorph in den [mm] a_j
[/mm]
die [mm] h_i [/mm] sind holomorph in [mm] a_j [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j
Wenn ich jetzt die [mm] h_i [/mm] von f abzieh, dann steht da zum Bsp. für j=1
[mm] f-h_1 [/mm] - [mm] (h_2+h_3+...) [/mm] wobei alle h's in der Klammer holomorph
also müsste ich gucken, was der Ausdruck
[mm] f(a_1)-h_1(a_1) [/mm] macht?
Vielleicht so:
da [mm] h_1 [/mm] auf der Punktierten Kreisscheibe [mm] K_\infty(a_1) [/mm] gegen f konvergiert, ist g in einer Umgebung von [mm] a_1 [/mm] beschränkt und damit nach Riemann holomorph fortsetzbar in [mm] a_1[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Mo 06.09.2010 | | Autor: | zorin |
> da [mm]h_1[/mm] auf der Punktierten Kreisscheibe [mm]K_\infty(a_1)[/mm]
> gegen f konvergiert...
In der Regel ist die Funktion nicht gleich dem Hauptteil.
Allgemein:
Wenn [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] holomorph ist, dann kann man [mm]f[/mm] um [mm]a[/mm] in eine Potenzreihe entwickeln.
Wenn [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] eine isolierte Singularität hat und sonst holomorph ist, dann kann [mm]f[/mm] in eine Laurentreihe entwickeln.
Die Larentreihe teilt man auf in einen Hauptteil [mm]h[/mm] und einen Nebenteil [mm]b[/mm]. Der Nebenteil ist eine Potenzreihe und somit holomorph. Der Hauptteil ist holomorph in [mm]\IC\setminus\{a\}[/mm].
Wir haben hier, dass [mm] $h_2+\ldots+h_m$ [/mm] holomorph in [mm] $a_1$ [/mm] ist.
Und wie steht es nun um [mm] $f-h_1$?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mo 06.09.2010 | | Autor: | sky1988 |
Normalerweise würd ich sagen, dass [mm] f-h_1 [/mm] nicht holomorph in [mm] a_1 [/mm] ist, da weder f noch [mm] h_1 [/mm] holomorph in [mm] a_1 [/mm] ist.
Aber anscheinend ist das ja gerade nicht richtig, denn schließlich kann man eine holomorphe Fortsetzung finden?! (der Grund leuchtet mir aber immer noch nicht ein)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Mo 06.09.2010 | | Autor: | zorin |
> Normalerweise würd ich sagen, dass [mm]f-h_1[/mm] nicht holomorph
> in [mm]a_1[/mm] ist, da weder f noch [mm]h_1[/mm] holomorph in [mm]a_1[/mm] ist.
Also wenn [mm]f,g[/mm] holomorph sind, dann auch [mm]f+g[/mm].
Das heisst doch nicht, dass "normalerweise" aus "[mm]f,g[/mm] nicht holomorph" auch "[mm]f+g[/mm] nicht holomorph" folgt. Höchstens "im allgemeinen", ausgeschlossen ist es aber nicht.
Als Beispiel nehme [mm]f(z)=z+1/z[/mm] mit [mm]h(z)=1/z[/mm].
Dann ist weder [mm]f[/mm] noch [mm]h[/mm] in 0 holomorph, jedoch [mm]f(z)-h(z)=z[/mm].
Nach diesem Prinzip funktioniert das.
Also überlege nochmal, was Laurentreihe und Hauptteil/Nebenteil bedeuten, und was hat Holomorphie mit Potenzreihen zu tun, und ob Potenzreihen Laurentreihen ohne Hauptteil sind.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:53 Mo 06.09.2010 | | Autor: | sky1988 |
Ich glaub jetzt hab ich's:
Es gilt eine Funktion h ist holomorph in [mm] z_0 [/mm] <=> h ist um [mm] z_0 [/mm] in eine Potenzreihe entwickelbar (mit positivem Konvergenzradius)
Wenn ich mir die Laurententwicklung von g um [mm] a_i [/mm] anschaue, dann taucht derselbe Hauptteil [mm] h_i [/mm] auf, der unter anderem auch in der Summe steht. Folglich verschwindet der Hauptteil der Entwicklung von g. Es bleibt eine Laurentreihe ohne negative Koeffizienten stehen. Wir haben also eine Potenzreihendarstellung um [mm] a_i [/mm] gefunden.
Folglich ist g holomorph in [mm] a_i.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 08.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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